试题 算法训练 Beaver's Calculator

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问题描述

　　从万能词典来的聪明的海狸已经使我们惊讶了一次。他开发了一种新的计算器，他将此命名为"Beaver's Calculator 1.0"。它非常特别，并且被计划使用在各种各样的科学问题中。
　　为了测试它，聪明的海狸邀请了n位科学家，编号从1到n。第i位科学家给这个计算器带来了 k_i个计算题。第i个科学家带来的问题编号1到n，并且它们必须按照编号一个一个计算，因为对于每个问题的计算都必须依赖前一个问题的计算结果。
　　每个教授的每个问题都用一个数 a_i, j  来描述，i（1≤i≤n）是科学家的编号，j（1≤j≤ k_i ）是问题的编号， a_i, j  表示解决这个问题所需资源单位的数量。
　　这个计算器非常不凡。它一个接一个的解决问题。在一个问题解决后，并且在下一个问题被计算前，计算器分配或解放资源。
　　计算器中最昂贵的操作是解放资源，解放远远慢于分配。所以对计算器而言，每一个接下来的问题所需的资源不少于前一个，是非常重要的。
　　给你关于这些科学家所给问题的相关信息。你需要给这些问题安排一个顺序，使得“坏对”尽可能少。
　　所谓“坏对”，就是相邻两个问题中，后一个问题需求的资源比前一个问题少。别忘了，对于同一个科学家给出的问题，计算它们的相对顺序必须是固定的。

 

输入格式

　　第一行包含一个整数n，表示科学家的人数。接下来n行每行有5个整数，k_i, a_i, 1, x_i, y_i, m_i (0 ≤ a_i, 1 < m_i ≤ 10⁹, 1 ≤ x_i, y_i ≤ 10⁹) ，分别表示第i个科学家的问题个数，第1个问题所需资源单位数，以及3个用来计算 a_i, j 的参量。a_i, j = (a_{i, j - 1} * x_i + y_i)mod m_i。

 

输出格式

　　第一行输出一个整数，表示最优顺序下最少的“坏对”个数。
　　如果问题的总个数不超过200000,接下来输出 行，表示解决问题的最优顺序。每一行两个用空格隔开的整数，表示这个问题所需的资源单位数和提供这个问题的科学家的编号。

 

样例输入

2
2 1 1 1 10
2 3 1 1 10

 

样例输出

0
1 1
2 1
3 2
4 2

 

数据规模和约定

　　20%的数据 n = 2, 1 ≤ k_i ≤ 2000；
　　另外30%的数据 n = 2, 1 ≤ k_i ≤ 200000；
　　剩下50%的数据 1 ≤ n ≤ 5000, 1 ≤ k_i ≤ 5000。

 

 

首先确定坏对数，分析可知，最少坏对数即坏对最多的科学家的坏对数，为什么呢？
由 a_i,j 的计算公式 (a_i,j-1*x_i+y_i) mod m_i 可知，对于每个科学家，我们可以将他的问题分为多个阶段，以坏对为界，在每个阶段，他的问题所需资源数都是递增的，不存在坏对，如下图所示.

其中，t表示阶段，我们把每个科学家对应的阶段合并，就能得到最优序列. 因为每个阶段都是递增序列，所以合并后并不会打乱每个科学家原来的问题顺序，当然也不会有新的坏对数. 那么合并后序列的坏对数即坏对数最多的科学家的坏对数ans. 因为题目要求不能打乱每个科学家的问题顺序，因此坏对数一定>=ans，故ans即最优解.

 

在具体实现中，我们可以定义一个结构体，来记录每个问题的所属阶段、所需资源数和提供该问题的科学家编号，然后进行结构体排序，最后按序输出即可.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define zero 1e-7

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=50000;
const ll max_n=2e5+7;

struct node {
    int t, a, c;//所属阶段，所需资源数，提供该问题的科学家编号 
}q[max_n];

int cmp(node x, node y) {
    if(x.t!=y.t) return x.t<y.t;//返回阶段更小的 
    if(x.a!=y.a) return x.a<y.a;//若属于同一阶段，返回所需资源数更低的 
    return x.c<y.c;//若所属阶段、所需资源数都相同，返回科学家编号更小的 
}

int n, cnt=0, ans=0;//科学家数，总问题数，最少坏对数 

int main() {
    cin>>n;
    int k, a, x, y, m;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d %d %d %d %d", &k, &a, &x, &y, &m);
        int t=0;
        for(int j=1; j<=k; j++) {
            if(cnt<=200000) {//注意判断，否则会运行错误-数组越界 
                q[cnt].t=t;
                q[cnt].a=a;
                q[cnt++].c=i;
            }
            if(j<k) {//注意，当j=k时已经是该科学家的最后一个问题，不需要再计算下一个a 
                int temp=((ll)a*x+y)%m;//注意，a*x+y可能会很大，所以要对a*x进行强制转换，当然，也可以在声明变量时就定义成ll型
                if(temp<a) t++;
                a=temp;
            }
         }
        ans=max(ans, t);
    }
    printf("%d
", ans);
    if(cnt<=200000) {
        sort(q, q+cnt, cmp);
        for(int i=0; i<cnt; i++) {
            printf("%d %d
", q[i].a, q[i].c);
        }
    }
    return 0;
}