CF1485C Floor and Mod

Description

询问 (1 leq a leq x) ，(1leq b leq y) ，且满足 (lfloor frac{a}{b} floor =amod b) 的有序对 ((a,b)) 有多少对。

Sol

先用 (b) 把 (a) 表示出来，有

[a=b imeslfloor frac{a}{b} floor + amod b ]

记 (lfloor frac{a}{b} floor=amod b=c)，则

[a=(b+1)c ]

那么，如果 (b) 是确定的，一个 (c) 就唯一对应了一个 (a) 。而这样的 (c) 有 (lfloor frac{x}{b+1} floor) 个。还注意到一点，由于 (c) 是余数，所以 (c) 一定要小于 (b) 。
那么答案即为

[sum_{i=1}^y min(i-1,lfloor frac{x}{i+1} floor) ]

此时已经有了一个 (O(y)) 的算法，但这显然不够。为了化简这个和式，首先想到的是把 (min) 去掉。容易发现 (i-1) 单增，(lfloor frac{x}{i+1} floor) 单减，所以可以直接二分找函数交点，分成两段单独求和。
前面的一段可以直接等差数列求和，而后面的一段直接整数分块即可，复杂度 (O(log n+sqrt{n})=O(sqrt{n}))

#include<stdio.h>
#define ll long long

inline int read(){
    int x=0,flag=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') flag=0;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
    return flag? x:-x;
}

int T;
ll x,y;

inline int min(int x,int y){return x<y? x:y;}

int main(){
    T=read();
    while(T--){
        x=read(),y=read();
        ll ans=0;
//        for(int i=1;i<=y;i++)
//            ans+=min(i-1,x/(i+1));
        int l=1,r=y,ret=0;
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if(mid-1<=x/(mid+1)) l=mid+1,ret=mid;
            else r=mid-1;
        }
        ans=(1ll*ret*(ret-1))>>1;
        for(l=ret+2,r=0;l<=min(x,y+1);l=r+1){
            r=min(y+1,x/(x/l));
            ans+=(r-l+1)*(x/l);
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
}

Tips

要注意一下整数分块的边界，是 (y+1) 而不是 (y)。又由于是在对 (x) 整数分块，但边界取的是 (y) ，所以算 (r) 的时候要注意和 (y+1) 取 (min)。（在这个地方卡了半天，交的时候这题只剩 1000 分不到了，血亏）