算法的基础概念

什么是算法？

　　算法，对应的英文单词是algorithm，这是一个很古老的概念，最早来自数学领域。在数学领域里，算法是用于解决某一类问题的公式和思想。

　　计算机科学领域的算法，它的本质是一系列程序指令，用于解决特定的运算和逻辑问题。从宏观上来看，数学领域的算法和计算机领域的算法有很多相通之处。算法有简单的，也有复杂的。

　　在计算机领域，我们同样会遇到各种高效和拙劣的算法。衡量算法好坏的重要标准有两个。

1. 时间复杂度
2. 空间复杂度

　　算法可以应用在很多不同的领域中，其应用场景更是多种多样

• 运算
• 查找
• 排序
• 最优决策
• 面试（如果这条也算的话）

什么是数据结构？

　　数据结构，对应的英文单词是data structure，是数据的组织、管理和存储格式，其使用目的是为了高效地访问和修改数据。数据结构是算法的基石。如果把算法比喻成美丽灵动的舞者，那么数据结构就是舞者脚下广阔而坚实的舞台。

数据结构都有哪些组成方式呢？

• 线性结构：线性结构是最简单的数据结构，包括数组、链表，以及由它们衍生出来的栈、队列、哈希表。
• 树：树是相对复杂的数据结构，其中比较有代表性的是二叉树，由它又衍生出了二叉堆之类的数据结构。
• 图：图是更为复杂的数据结构，因为在图中会呈现出多对多的关联关系。
• 其他数据结构：除上述所列的几种基本数据结构以外，还有一些其他的千奇百怪的数据结构。它们由基本数据结构变形而来，用于解决某些特定问题，如跳表、哈希链表、位图等。

　　衡量一个算法的好坏的指标有时间复杂度、空间复杂度。例如 A算法的代码运行一次要花100ms，占用内存5MB。B算法的代码运行一次要花100s，占用内存500MB。在上述场景中，B算法存在两个很严重的问题。

1. 运行时间长：运行别人的代码只要100ms，而运行B的代码则要100s，使用者肯定是无法忍受的。
2. 占用空间大：别人的代码只消耗5MB的内存，而B的代码却要消耗500MB的内存，这会给使用者造成很多麻烦。

　　由此可见，运行时间的长短和占用内存空间的大小，是衡量程序好坏的重要因素。

　　时间复杂度:

　　基本操作执行次数:

　　关于代码的基本操作执行次数，下面用生活中的4个场景来进行说明。

1. 场景1：给小灰1个长度为10cm的面包，小灰每3分钟吃掉1cm，那么吃掉整个面包需要多久？答案自然是3×10即30分钟。如果面包的长度是n cm呢？此时吃掉整个面包，需要3乘以n即3n分钟。如果用一个函数来表达吃掉整个面包所需要的时间，可以记作T(n) = 3n，n为面包的长度。
2. 场景2：给小灰1个长度为16cm的面包，小灰每5分钟吃掉面包剩余长度的一半，即第5分钟吃掉8cm，第10分钟吃掉4cm，第15分钟吃掉2cm……那么小灰把面包吃得只剩1cm，需要多久呢？这个问题用数学方式表达就是，数字16不断地除以2，那么除几次以后的结果等于1？这里涉及数学中的对数，即以2为底16的对数log2(16)。因此，把面包吃得只剩下1cm，需要5×log2(16)即20分钟。如果面包的长度是n cm呢？此时，需要5乘以log2(n)即5log2(n)分钟，记作T(n) = 5log2(n)。
3. 场景3：给小灰1个长度为10cm的面包和1个鸡腿，小灰每2分钟吃掉1个鸡腿。那么小灰吃掉整个鸡腿需要多久呢？答案自然是2分钟。因为这里只要求吃掉鸡腿，和10cm的面包没有关系。如果面包的长度是n cm呢？无论面包多长，吃掉鸡腿的时间都是2分钟，记作T(n) = 2。
4. 场景4　给小灰1个长度为10cm的面包，小灰吃掉第1个1cm需要1分钟时间，吃掉第2个1cm需要2分钟时间，吃掉第3个1cm需要3分钟时间……每吃1cm所花的时间就比吃上一个1cm多用1分钟。那么小灰吃掉整个面包需要多久呢？答案是从1累加到10的总和，也就是55分钟。如果面包的长度是n cm呢？根据高斯算法，此时吃掉整个面包需要 1+2+3+…+(n-1)+ n 即(1+n)×n/2分钟，也就是0.5n 2 + 0.5n分钟，记作T(n) = 0.5n 2 + 0.5n。

　　上面所讲的是吃东西所花费的时间，这一思想同样适用于对程序基本操作执行次数的统计。设T(n)为程序基本操作执行次数的函数（也可以认为是程序的相对执行时间函数），n为输入规模，刚才的4个场景分别对应了程序中最常见的4种执行方式。

1. 场景1　T(n) = 3n，执行次数是线性的。
2. 场景2　T(n) = 5log2(n)，执行次数是用对数计算的。
3. 场景3　T(n) = 2，执行次数是常量。
4. 场景4　T(n) = 0.5n 2 + 0.5n，执行次数是用多项式计算的。

　　渐进时间复杂度:

　　有了基本操作执行次数的函数T(n)，是否就可以分析和比较代码的运行时间了呢？还是有一定困难的。例如算法A的执行次数是T(n)= 100n，算法B的执行次数是T(n)= 5n^2 ，这两个到底谁的运行时间更长一些呢？这就要看n的取值了。因此，为了解决时间分析的难题，有了渐进时间复杂度（asymptotic timecomplexity）的概念，其官方定义如下。

　　若存在函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称为O(f(n))，O为算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。因为渐进时间复杂度用大写O来表示，所以也被称为大O表示法。直白地讲，时间复杂度就是把程序的相对执行时间函数T(n)简化为一个数量级，这个数量级可以是n、n 2 、n 3 等。

　　如何推导出时间复杂度呢？有如下几个原则。

1. 如果运行时间是常数量级，则用常数1表示
2. 只保留时间函数中的最高阶项
3. 如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数

　　让我们回头看看刚才的4个场景。

1. 场景1：T(n) = 3n，最高阶项为3n，省去系数3，则转化的时间复杂度为：T(n)=O(n)。
2. 场景2：T(n) = 5log2(n)，最高阶项为5log2(n)，省去系数5，则转化的时间复杂度为：T(n) =O(log2(n))。
3. 场景3：T(n) = 2，只有常数量级，则转化的时间复杂度为：T(n) =O(1)。
4. 场景4：T(n) = 0.5n^2 + 0.5n，最高阶项为0.5n^2 ，省去系数0.5，则转化的时间复杂度为：T(n) =O(n^2 )。

　　这4种时间复杂度究竟谁的程度执行用时更长，谁更节省时间呢？当n的取值足够大时，不难得出下面的结论：O(1)<O(log2(n))<O(n)<O(n^2 )

　　在编程的世界中有各种各样的算法，除了上述4个场景，还有许多不同形式的时间复杂度，例如：O(nlogn)、O(n 3 )、O(mn)、O(2 n )、O(n!)

　　空间复杂度:

　　在运行一段程序时，我们不仅要执行各种运算指令，同时也会根据需要，存储一些临时的中间数据，以便后续指令可以更方便地继续执行。在什么情况下需要这些中间数据呢？让我们来看看下面的例子。

　　给出n个整数，其中有两个整数是重复的，要求找出这两个重复的整数。

　　对于这个简单的需求，可以用很多种思路来解决，其中最朴素的方法就是双重循环。双重循环虽然可以得到最终结果，但它显然并不是一个好的算法。它的时间复杂度是多少呢？根据上一节所学的方法，我们不难得出结论，这个算法的时间复杂度是O(n 2 )。

　　在这种情况下，我们就有必要利用一些中间数据了。当遍历整个数列时，每遍历一个整数，就把该整数存储起来，就像放到字典中一样。当遍历下一个整数时，不必再慢慢向前回溯比较，而直接去“字典”中查找，看看有没有对应的整数即可。由于读写“字典”本身的时间复杂度是O(1)，所以整个算法的时间复杂度是O(n)，和最初的双重循环相比，运行效率大大提高了。而这个所谓的“字典”，是一种特殊的数据结构，叫作散列表。这个数据结构需要开辟一定的内存空间来存储有用的数据信息。

　　但是，内存空间是有限的，在时间复杂度相同的情况下，算法占用的内存空间自然是越小越好。如何描述一个算法占用的内存空间的大小呢？这就用到了算法的另一个重要指标——空间复杂度（space complexity）。

　　和时间复杂度类似，空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，它同样使用了大O表示法。程序占用空间大小的计算公式记作S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)为算法所占存储空间的函数。

　　常见的空间复杂度有下面几种情形：

1. 常量空间：当算法的存储空间大小固定，和输入规模没有直接的关系时，空间复杂度记作O(1)。
2. 线性空间：当算法分配的空间是一个线性的集合（如数组），并且集合大小和输入规模n成正比时，空间复杂度记作O(n)
3. 二维空间：当算法分配的空间是一个二维数组集合，并且集合的长度和宽度都与输入规模n成正比时，空间复杂度记作O(n 2 )。
4. 递归空间：递归是一个比较特殊的场景。虽然递归代码中并没有显式地声明变量或集合，但是计算机在执行程序时，会专门分配一块内存，用来存储“方法调用栈”。“方法调用栈”包括进栈和出栈两个行为。当进入一个新方法时，执行入栈操作，把调用的方法和参数信息压入栈中。当方法返回时，执行出栈操作，把调用的方法和参数信息从栈中弹出。执行递归操作所需要的内存空间和递归的深度成正比。纯粹的递归操作的空间复杂度也是线性的，如果递归的深度是n，那么空间复杂度就是O(n)。

时间与空间的取舍:

　　人们之所以花大力气去评估算法的时间复杂度和空间复杂度，其根本原因是计算机的运算速度和空间资源是有限的。就如一个大财主，基本不必为日常花销伤脑筋；而一个没多少积蓄的普通人，则不得不为日常花销精打细算。

　　对于计算机系统来说也是如此。虽然目前计算机的CPU处理速度不断飙升，内存和硬盘空间也越来越大，但是面对庞大而复杂的数据和业务，我们仍然要精打细算，选择最有效的利用方式。

　　但是，正所谓鱼和熊掌不可兼得。很多时候，我们不得不在时间复杂度和空间复杂度之间进行取舍。

　　在寻找重复整数的例子中，双重循环的时间复杂度是O(n 2 )，空间复杂度是O(1)，这属于牺牲时间来换取空间的情况。相反，字典法的空间复杂度是O(n)，时间复杂度是O(n)，这属于牺牲空间来换取时间的情况。

　　在绝大多数时候，时间复杂度更为重要一些，我们宁可多分配一些内存空间，也要提升程序的执行速度。此外，说起空间复杂度就离不开数据结构。