期望和期望的性质

1. 若E[X]和E[Y]均有限，在(X,Y)连续的情况下：

    E[X+Y]=E[X]+E[Y]

    E[X₁+X₂+...X_n]=E[X₁]+E[X₂]+...+E[X_n]

    (上式不要求X,Y独立)

2. 若X,Y具有二元分布列p(x,y)，那么：

    E[g(X,Y)]=∑∑g(x,y)p(x,y)

    若X,Y具有联合分布密度，那么：

    E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)f(x,y)dxdy

3. 若X,Y独立，那么：

    E[X₁X₂...X_n]=E[X₁]E[X₂]...E[X_n]

4. 样本均值的期望等于其分布的均值。

5. 若X,Y独立，那么：

    E[g(X)h(Y)]＝E[g(X)]E[h(Y)]

6. 协方差Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]

                         =E[XY]-E[X]E[Y]

7. 若X₁,...X_n 两两独立，那么Var(∑X_i)=∑Var(X_i)

   即，独立随机变量和的方差等于他们方差的和。

8. 两个随机变量X,Y的相关系数ρ=Cov(X,Y)/sqrt(Var(X)·Var(Y))

   相关系数是两个随机变量间线性依赖程度的一种度量。 -1≤ρ≤1

   ρ接近0，表示两者缺乏线性依赖性。ρ=0，X,Y不相关。

   ρ取正值，X增加时Y趋于增加；

   ρ取负值，X增加时Y趋于下降。

9. 浙江大学，概率论与数理统计，数学期望，产品产量、销售量与利润期望的问题：

    销售量Y是个随机变量，产品产量x是一个待求的非随机变量。

    如果把这两者画在数轴上，Y的位置是随机游动的。根据Y与x的相对位置，利润有不同的表达式（Y在x左侧，产品有积压；Y在x右侧，产品无积压）。

    这样将期望表达式的积分区间分为[0,x]和[y,+∞]。