bzoj1485 [HNOI2009]有趣的数列（Catalan）

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；
(2)所有的奇数项满足a1 < a3 < … < a2n-1，所有的偶数项满足a2 < a4 < … < a2n；
(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1 < a2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input
3 10

Sample Output
5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）

分析：
这道题我们不用归纳法，而是使用假说演绎法
我们已经知道了这个问题就是求卡特兰数
但是从哪里看出来的呢：
最直接的：打表
当然我们还可以理性的分析一下
可以将题目中的问题转换成卡特兰数的经典问题——入栈出栈问题
确定了奇数位后，偶数位要么唯一确定，要么不存在合法的序列
然后就可以将奇数位看成入栈，偶数位看成出栈，转换成卡特兰数的模型

献上Catalan的模板

//这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstring>
#define ll long long

using namespace std;

const int N=2000003;
int n,p;
int sshu[N],tot=0,num[N],mp[N];
bool no[N];

void makeprime(int n)
{
    memset(sshu,0,sizeof(sshu));
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!no[i]) sshu[++tot]=i,mp[i]=tot;
        for (int j=1;j<=tot&&sshu[j]*i<=n;j++)
        {
            no[sshu[j]*i]=1;
            if (i%sshu[j]==0) break;
        } 
    }
}

void calc(int x,int bz)   //分解质因数 
{
    int k=x;
    for (int i=1;sshu[i]*sshu[i]<=k;i++)
        if (k%sshu[i]==0)
            while (k%sshu[i]==0)
            {
                k/=sshu[i];
                num[i]+=bz;
            }
    if (k>1) num[mp[k]]+=bz;
}

ll KSM(ll a,int b)
{
    a%=p;
    ll t=1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
           t=(a%p*t%p)%p;
        b>>=1;
        a=(a%p*a%p)%p;
    }
    return t%p;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    makeprime(N);
    for (int i=n+1;i<=2*n;i++) calc(i,1);
    for (int i=1;i<=n;i++) calc(i,-1);
    calc(n+1,-1);
    ll ans=1;
    for (int i=1;i<=tot;i++)
        ans=ans*KSM((ll)sshu[i],num[i])%p;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}