《算法导论》读书笔记之图论算法—Dijkstra 算法求最短路径

自从打ACM以来也算是用Dijkstra算法来求最短路径了好久，现在就写一篇博客来介绍一下这个算法吧 :)

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，
但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，比如数据结构、图论、运筹学等。

首先，大家需要明确的是，Dijkstra算法是用来解决non-negative-weight的最短路程问题的

如果图中存在负权图，可以尝试使用 Bellman-Ford 暴力法或者 SPFA 算法解决

那么用它能来解决什么问题呢？

我之前写过如下几篇博文

1. 多个起点，一个终点，求从起点到终点的最短路（也可以理解成可以解决多点到多点的最短路）http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3647246.html
2. 第k短路（与A*算法有关） http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3892970.html
3. 临接表下Dijkstra实现模板以及带heap优化http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3714674.html

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下面来一个最容易理解的Dijkstra C++实现版本 （邻接矩阵）：

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
      int n=MAXNUM;
  　　for(int i=1; i<=n; ++i)
 　　 {
      　　dist[i] = A[v0][i];
      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
      　　if(dist[i] == MAXINT)    
            　　prev[i] = -1;
 　　     else 
            　　prev[i] = v0;
   　　}
   　 dist[v0] = 0;
   　 S[v0] = true; 　　
 　　 for(int i=2; i<=n; i++)
 　　 {
       　　int mindist = MAXINT;
       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
      　　    {
         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 
         　 　      mindist = dist[j];
       　　   }
       　　S[u] = true; 
       　　for(int j=1; j<=n; j++)
       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
       　　    {
           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径  
           　    　{
                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
                   　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点 
            　　    }
        　    　}
   　　}
}

算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，
第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，
以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），
第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，
是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

　　

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算法实例

先给出一个无向图

下面的表格可以帮助大家理解算法

资料来源：http://cnblogs.com/wushuaiyi

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html