POJ2728 最小比率生成树/0-1分数规划/二分/迭代（迭代不会）

用01分数规划 + prime + 二分 竟然2950MS惊险的过了QAQ

前提是在TLE了好几次下过的 = =

题目意思：
有n个村庄，村庄在不同坐标和海拔，现在要对所有村庄供水，只要两个村庄之间有一条路即可，建造水管距离为坐标之间的欧几里德距离，费用为海拔之差，现在要求方案使得费用与距离的比值最小，很显然，这个题目是要求一棵最优比率生成树。

解题思路：

对答案进行二分，当把代进去的答案拿来算最小生成树的时候，一旦总路径长度为0，就是需要的答案。

0-1规划是啥？
 
概念
有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小).这显然是一个具有现实意义的问题.
解法之一 0-1分数规划
设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.
则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m .
为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.

然后明确两个性质:
　1. z单调递减
　　证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.
　2. z( max(r) ) = 0
　　证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;
　　 若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大.

贴代码：

//#pragma comment(linker, "/STACK:16777216") //for c++ Compiler
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1001;
struct node{
    double x,y,h;
}dot[MAXN];

double map[MAXN][MAXN];
int n;
double dis(double x1,double y1,double x2,double y2){
    return sqrt( (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1) );
}

void creat(int n,double l){
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
        map[i][j]=fabs(dot[i].h-dot[j].h) - l * dis(dot[i].x,dot[i].y,dot[j].x,dot[j].y);
}

double prim(){
    bool vis[MAXN];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    double dis[MAXN];
    double ans = 0;
    int i,j;
    vis[1] = true;
    for(i = 1; i <= n; ++i)
        dis[i] = map[1][i];
    for(i = 1; i < n; ++i){
        int temp = INF, flag;
        for(j = 1; j <= n; ++j){
            if(!vis[j] && dis[j] <= temp){
                temp = dis[j];
                flag = j;
            }
        }
        vis[flag] = true;
        ans += dis[flag];
        for(j = 1; j <= n; ++j){
            if(!vis[j] && map[flag][j] < dis[j])
                dis[j] = map[flag][j];
        }
    }
    return ans;
}

int main(){
    int i,j;
    double res,front,rear, mid;
    while(EOF != scanf("%d",&n)){
        if(n==0)    break;
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf%lf%lf",&dot[i].x,&dot[i].y,&dot[i].h);
        front = 0;
        rear = 100.0;//doubt
        while(front <= rear){
            mid = (front + rear) / 2;
            creat(n,mid);
            res = prim();
            if(fabs(res) < 1e-4)
                break;
            else if(res > 1e-4)
                front = mid;
            else
                rear = mid;
        }
        printf("%.3f
",mid);
    }
    return 0;
}