莫比乌斯反演 and 杜教筛总结

这几天做了几道和杜教筛有关的题目，赶紧记下来怕以后忘了

首先就是最常用的式子

对于一个函数f(x)

设$g(x) =sum_{x|d}f(d)$

则根据莫比乌斯反演有$$f(x) = sum_{x|d}μ(frac{d}{x})g(d)$$

举一个最常见的例子

求$$sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{M} [gcd(i, j) == 1]$$

令$$g(x) =sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{M} [x | gcd(i, j)]$$

根据上面的公式有$$f(x) = sum_{x | d}μ(frac{d}{x})g(d)$$

因为$$g(x) =sum_{i=1}^{[frac{N}{x}]}sum_{j=1}^{[frac{M}{x}]} [gcd(i, j) == 1]$$可以O(1)求出

答案即为f(1)

​

 但有些时候n很大，这时候O(n)的时间复杂度是不可接受的，我们就需要用杜教筛来处理一些问题

比如$$sum_{i=1}^{N}μ(i)$$

μ有一个性质：$$sum_{d|n}mu(d)=[n=1]$$

于是就有$$sum_{i=1}^{N}sum_{d|i}μ(d) = 1$$

变换一下枚举倍数$$sum_{d=1}^{N}sum_{j = 1}^{[frac{N}{d}]}μ(j) = 1$$

于是 $$sum_{i=1}^{N}μ(i) = 1 - sum_{d=2}^{N}sum_{j = 1}^{[frac{N}{d}]}μ(j)$$

这个式子就可以递归求解了

我们预处理出前1e6的μ的前缀和， 每个$[frac{N}{d}]$都是一个区间，可以一起求出

求前缀和递归函数：

int sieve(LL x)
{
    if(x <= MAXN) {
        return sum[x];
    }
    if(m[x]) {
        return m[x];
    }
    int S = 1;
    for(LL i = 2, j; i <= x; i = j + 1) {
        j = x / (x / i);
        S = (S - (LL)(j - i + 1) * sieve(x / i) % MOD + MOD) % MOD;
    }
    return m[x] = S;
}

如果要求$$sum_{i=1}^{N}i*μ(i) $$也可以用同样的方法

根据性质有$$sum_{i=1}^{N}isum_{d|i}μ(d) = 1$$

则$$sum_{i=1}^{N}sum_{d|i}μ(d)*d*frac{i}{d} = 1$$

同样枚举倍数$$sum_{d=1}^{N}dsum_{j=1}^{[frac{N}{d}]}μ(j)*j = 1$$

则$$sum_{i=1}^{N}i*μ(i)=1 - sum_{d=2}^{N}dsum_{i=1}^{[frac{N}{d}]}μ(i)*i $$

做法就与之前相同了

递归函数：

inline LL sieve(LL x)
{
    if(x <= 5e6) {
        return sum[x];
    }
    int hh = get_h(x);
    if(ha[hh] == x) {
        return h[hh];
    }
    ha[hh] = x;
    h[hh] = 1;
    LL i = 2;
    while(i <= x)
    {
        LL m = x / i, j = x / m;
        h[hh] = ((LL)h[hh] - (i + j) % MOD * (( j - i + 1) % MOD) % MOD * rev2 % MOD * sieve(m) % MOD + MOD) % MOD;
        i = j + 1;
    }
    return h[hh];
}