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    1041: [HAOI2008]圆上的整点

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    Description

    求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2),在圆周上有多少个点的坐标是整数。

    Input

    只有一个正整数n,n<=2000 000 000

    Output

    整点个数

    Sample Input

    4

    Sample Output

    4

    $ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^2$

    移项

    $x ^ 2 = r ^ 2 - y ^ 2$

    $x ^ 2 = (r - y) * (r + y)$

     令  d = gcd(r - y, r + y)

    设 $A = frac{r - y}{d} = a ^ 2$, $B = frac{r + y}{d} = b ^ 2$ (gcd(A , B) == 1)

    则 $a ^ 2 + b ^ 2 = frac{r * 2}{d}$

    所以d 为 2 * r 的约数

    再枚举 a = 1 ~ sqrt($frac{d}{2}$) 即可

     1 #include <iostream>
     2 #include <cstdio>
     3 #include <cstring>
     4 #include <cmath>
     5 #include <algorithm>
     6 #define LL long long
     7 
     8 using namespace std;
     9 
    10 LL ans = 0;
    11 LL r;
    12 inline LL read()
    13 {
    14     LL x = 0, w = 1; char ch = 0;
    15     while(ch < '0' || ch > '9') {
    16         if(ch == '-') {
    17             w = -1;
    18         }
    19         ch = getchar();
    20     }
    21     while(ch >= '0' && ch <= '9') {
    22         x = x * 10 + ch - '0';
    23         ch = getchar();
    24     }
    25     return x * w;
    26 }
    27 
    28 int gcd(int a, int b)
    29 {
    30     if(b == 0) {
    31         return a;
    32     } else {
    33         return gcd(b, a % b);
    34     }
    35 }
    36 int main()
    37 {
    38     r = read();
    39     for(int d = 1; d <= sqrt(2 * r); d++) {
    40         if((2 * r) % d == 0) {
    41             for(int a = 1; a < sqrt(2 * r / (2 * d)); a++) {
    42                 int b = (int)sqrt(2 * r / d - a * a);
    43                 if(b == sqrt(2 * r / d - a * a) && gcd(b, a) == 1) {
    44                 //    cout<<a<<" "<<b<<endl;
    45                     ans++;
    46                 }
    47             }
    48             if(d != (2 * r) / d) {
    49                 for(int a = 1; a < sqrt(d / 2); a++) {
    50                     int b = (int)sqrt(d - a * a);
    51                     if(b == sqrt(d - a * a) && gcd(b, a) == 1) {
    52                 //        cout<<a<<" "<<b<<endl;
    53                         ans++;
    54                     }
    55                 }
    56             }    
    57         }
    58     }
    59     ans = ans * 4 + 4;
    60     printf("%lld
    ", ans);
    61     return 0;
    62 }
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