careercup-递归和动态规划 9.11

9.11 给定一个布尔表达式，由0、1、&、|和^等符号组成，以及一个想要的布尔结果result，实现一个函数，算出有几种括号的放法可使该表达式得出result值。

解法：

跟其他递归问题一样，此题的关键在于找出问题与子问题之间的关系。

假设函数int f(expression,result)会返回所有值为return的有效表达式的数量。我们想要算出f(1^0|0|1,true)（也即，给表达式1^0|0|1加括号使其求值为true的所有方式）。每个加括号的表达式最外层肯定有一对括号。因此，我们可以这么做：

也就是说，我们可以迭代整个表达式，将每个运算符当作第一个要加括号的运算符。

现在，又该如何计算这些内层的表达式呢，比如f((1^0)|(0|1),true)?很简单，要让这个表达式的值为true，左半部分和右半部分必有一位true。因此，这个表达式分解如下：

f((1^0) | (0|1),true)= f(1^0,true)* f(0|1,true) +

　　　　　　　　　　　 f(1^0,false)* f(0|1,true)+

　　　　　　　　　　　 f(1^0,true) * f(0|1,false)

对每个布尔表达式，都可以进行类似的分解：

对false结果，我们也可以执行非常类似的操作：

至此，要解决这个问题，只需反复套用这些递归关系即可。

C++实现代码：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int f(string exp,bool result,int s,int e)
{
    if(s==e)
    {
        if(exp[s]=='1'&&result)
            return 1;
        else if(exp[s]=='0'&&!result)
            return 1;
        else
            return 0;
    }
    int c=0;
    int i;
    if(result)
    {
        for(i=s+1; i<=e; i+=2)
        {
            if(exp[i-1]=='&')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1)*f(exp,true,i+1,e);
            }
            else if(exp[i]=='|')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1)*f(exp,false,i+1,e);
                c+=f(exp,false,s,i-1)*f(exp,true,i+1,e);
                c+=f(exp,true,s,i-1)*f(exp,true,i+1,e);
            }
            else if(exp[i]=='^')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1)*f(exp,false,i+1,e);
                c+=f(exp,false,s,i-1)*f(exp,true,i+1,e);
            }
        }
    }
    else
    {
        for(i=s+1;i<=e;i+=2)
        {
            if(exp[i-1]=='&')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1)*f(exp,false,i+1,e);
                c+=f(exp,false,s,i-1)*f(exp,true,i+1,e);
                c+=f(exp,false,s,i-1)*f(exp,false,i+1,e);
            }
            else if(exp[i]=='|')
            {
                c+=f(exp,false,s,i-1)*f(exp,false,i+1,e);
            }
            else if(exp[i]=='^')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1)*f(exp,true,i+1,e);
                c+=f(exp,false,s,i-1)*f(exp,false,i+1,e);
            }
        }
    }
    return c;
}

int main()
{
    string str="1^0|0&1&0|1^1^0|1|1&0&1^0|0&1&0|1^1^0|1|1&0^1^0|0&1&0|1^1^0|1|1&0^1^0|0&1&0|1^1^0|1|1&0|1|0|0";
    cout<<f(str,true,0,4)<<endl;
}

虽然这么做可行，但不是很有效，对于同一个exp的值，他会重复算f(exp)很多次。

要解决这个问题，我们可以运用动态规划，缓存不同表达式的结果。注意，我们需要根据expression和result进行缓存。

dp C++实现代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
using namespace std;

int f(string exp,bool result,int s,int e,map<string,int> &mp)
{
    string key=""+result+s+e;
    if(mp.find(key)!=mp.end())
        return mp[key];
    if(s==e)
    {
        if(exp[s]=='1'&&result)
            return 1;
        else if(exp[s]=='0'&&!result)
            return 1;
        else
            return 0;
    }
    int c=0;
    int i;
    if(result)
    {
        for(i=s+1; i<=e; i+=2)
        {
            if(exp[i-1]=='&')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1,mp)*f(exp,true,i+1,e,mp);
            }
            else if(exp[i]=='|')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1,mp)*f(exp,false,i+1,e,mp);
                c+=f(exp,false,s,i-1,mp)*f(exp,true,i+1,e,mp);
                c+=f(exp,true,s,i-1,mp)*f(exp,true,i+1,e,mp);
            }
            else if(exp[i]=='^')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1,mp)*f(exp,false,i+1,e,mp);
                c+=f(exp,false,s,i-1,mp)*f(exp,true,i+1,e,mp);
            }
        }
    }
    else
    {
        for(i=s+1;i<=e;i+=2)
        {
            if(exp[i-1]=='&')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1,mp)*f(exp,false,i+1,e,mp);
                c+=f(exp,false,s,i-1,mp)*f(exp,true,i+1,e,mp);
                c+=f(exp,false,s,i-1,mp)*f(exp,false,i+1,e,mp);
            }
            else if(exp[i]=='|')
            {
                c+=f(exp,false,s,i-1,mp)*f(exp,false,i+1,e,mp);
            }
            else if(exp[i]=='^')
            {
                c+=f(exp,true,s,i-1,mp)*f(exp,true,i+1,e,mp);
                c+=f(exp,false,s,i-1,mp)*f(exp,false,i+1,e,mp);
            }
        }
    }
    mp[key]=c;
    return c;
}

int fDP(string exp,bool result,int s,int e)
{
    map<string,int> dp;
    return f(exp,result,s,e,dp);
}
int main()
{
    string str="1^0|0&1&0|1^1^0|1|1&0&1^0|0&1&0|1^1^0|1|1&0^1^0|0&1&0|1^1^0|1|1&0^1^0|0&1&0|1^1^0|1|1&0|1|0|0";
    cout<<fDP(str,true,0,4)<<endl;
}