prim算法

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它包含图中全部的顶点（n个顶点），但只有n-1条边。

最小生成树：构造连通网的最小代价（最小权值）生成树。

prim算法在严蔚敏树上有解释，但是都是数学语言，很深奥。

最小生成树MST性质：假设N=（V,{E}）是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若（u,v）是一条具有最小权值（代价）的边，

其中u∈U，v∈V-U，则必存在一颗包含边（u,v）的最小生成树。

prim算法过程为：

假设N=（V,{E}）是连通图，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u₀}（u₀∈V），TE={}开始，

重复执行下述操作：

在所有u∈U，v∈V-U的边（u，v）∈E中找一条代价最小的边（u₀，v₀）并入集合TE，同时v₀ 并入U，直至U=V为止。

此时TE中必有n-1条边，则T=（V，{TE}）为N的最小生成树。

我以图为例，看看算法过程。

 

上面基本就把prim算法思想给表达出来。

代码部分：

这里我使用的是邻接矩阵来表示图，其中边的值就是权值。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef int bool;
typedef char VertexType;
typedef int  EdgeType;
#define false 0
#define true 1
#define MAXVEX 100
#define IFY 65535

VertexType g_init_vexs[MAXVEX] = {'A','B','C','D','E','F','G','H','I'};

EdgeType g_init_edges[MAXVEX][MAXVEX] = {
    {0,11,IFY,IFY,IFY,9,IFY,IFY,6},    //'A'
    {11,0,10,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,8},  //'B'
    {IFY,10,0,17,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY},//'C'
    {IFY,IFY,17,0,9,IFY,IFY,IFY,IFY},//'D'
    {IFY,IFY,IFY,9,0,7,5,8,IFY},    //'E'
    {9,IFY,IFY,IFY,7,0,3,IFY,IFY},    //'F'
    {IFY,IFY,IFY,IFY,5,3,0,IFY,IFY},    //'G'
    {IFY,IFY,IFY,IFY,8,IFY,IFY,0,IFY},    //'H'
    {6,8,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,0},    //'I'
};

typedef struct {
    VertexType vexs[MAXVEX];
    EdgeType Mat[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVexs,numEdges;
}MGraph;

//打印矩阵,使用二维指针
void prt_maxtix(EdgeType (*p)[MAXVEX],int vexs)
{
    int i,j;
    for(i=0;i<vexs;i++)
    {
        printf("	");
        for(j=0;j<vexs;j++)
        {
             if( *(*p + j) == IFY)
            {
                printf("  $ ");
            }
            else
            {
                printf(" %2d ", *(*p + j));
            }
        }
         p++;
         printf("
");
    }
}

//check the number of vextex
int getVexNum(VertexType *vexs)
{
    VertexType *pos = vexs;
    int cnt=0;
    while(*pos <= 'Z' && *pos >= 'A')
    {
        cnt++;
        pos++;
    }
    return cnt;
}
//检查矩阵是否对称
bool checkMat(EdgeType *p,VertexType numvex)
{
    int i,j;
    for (i=0;i<numvex;i++)
    {
        for(j=i+1;j<numvex;j++)
        {
            //printf("[%d][%d] = %d	",i,j,*(p + MAXVEX*i + j));
            //printf("[%d][%d] = %d
",j,i,*(p + MAXVEX*j + i));
            if (*(p + MAXVEX*i + j) != *(p + MAXVEX*j +i) )
            {
                printf("ERROR:Mat[%d][%d] or Mat[%d][%d] not equal!
",i,j,j,i);
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}
//用已知的一维数组和二维数组分别初始化顶点和边
void init_Grp(MGraph *g,VertexType *v,EdgeType *p)
{
    int i,j;
    // init vex num
    (*g).numVexs = getVexNum(v);

    //init vexter
    for (i=0;i<(*g).numVexs;i++)
    {
        (*g).vexs[i]=*v;
        v++;
    }

    //init Mat
    for (i=0;i<(*g).numVexs;i++)
    {
        for (j=0;j<(*g).numVexs;j++)
        {
            (*g).Mat[i][j] = *(p + MAXVEX*i + j);
        }
    }
    if(checkMat(&((*g).Mat[0][0]),(*g).numVexs) == false)
    {
        printf("init error!
");
        exit(0);
    }
}

/*void prim(MGraph G,int num)
{
    int sum=0;
    int min,i,j,k;
    int adjvex[MAXVEX];
    int lowcost[MAXVEX];

    lowcost[num] = 0;
    adjvex[num] = 0;

    for (i = 0; i < G.numVexs;i++ )
    {
        if (num == i)
        {
            continue;
        }
        lowcost[i]=G.Mat[num][i];    //存放起始顶点到各个顶点的权值。
        adjvex[i] = num;
    }

    for (i=0;i<G.numVexs;i++)
    {
        //1.找权最短路径
        //2.把权最短路径的顶点纳入已找到的顶点集合中，重新查看新集合中最短路径
        if(num == i)
        {
            continue;
        }
        min = IFY;
        j=0;k=0;
        while (j<G.numVexs)
        {
            if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
            {
                min = lowcost[j];
                k = j;

            }
            j++;
        }
        printf(" (%d,%d) --> ",adjvex[k],k);
        sum += G.Mat[adjvex[k]][k];
        lowcost[k]=0;
        for (j=0;j<G.numVexs;j++)
        {

            if (lowcost[j] != 0 && G.Mat[k][j] < lowcost[j])
            {
                lowcost[j] = G.Mat[k][j];
                adjvex[j]=k;
            }
        }

    }
    printf("total:sum=%d
",sum);
}*/

void Prim(MGraph G,int num)
{
    int sum,i,j,min,k;
    int adjvex[MAXVEX];
    int lowcost[MAXVEX];
    sum=0;
    adjvex[num]=0;
    lowcost[num]=0;
    for(i=0;i<G.numVexs;i++)
    {
        if(i==num)
            continue;
        adjvex[i]=num;
        lowcost[i]=G.Mat[num][i];
    }
    for(i=0;i<G.numVexs;i++)
    {
        if(i==num)
            continue;
        min=IFY;
        k=0;
        //求出代价最小的点
        for(j=0;j<G.numVexs;j++)
        {
            if(lowcost[j]!=0&&lowcost[j]<min)
            {
                min=lowcost[j];
                k=j;
            }
        }
        printf("(%d,%d)-->",adjvex[k],k);
        sum+=G.Mat[adjvex[k]][k];
        lowcost[k]=0;
        for(j=0;j<G.numVexs;j++)
        {
            if(lowcost[j]!=0&&G.Mat[k][j]<lowcost[j])
            {
                lowcost[j]=G.Mat[k][j];
                adjvex[j]=k;
            }
        }
    }
    printf("total:sum=%d
",sum);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    MGraph grp;
    //init
    init_Grp(&grp,g_init_vexs,&g_init_edges[0][0]);
    //print Matix
    prt_maxtix(grp.Mat,grp.numVexs);

    //prim(grp,4);
    int i;
    for (i=0;i<grp.numVexs;i++)
    {
        Prim(grp,i);
    }
    //prim(grp,3);


    getchar();
    return 0;
}

运行结果如下：