求逆元算法

费马小定理：若p是素数，a是正整数且不能被p整除，则a^p-1 == 1(mod p)

费马小定理的拓展：a^p == a(mod p)

欧拉定理：对任意互素的a和n. 设Φ(n) 为小于n且与n互素的正整数的个数，有a^Φ(n) == 1(mod n)

欧拉定理的拓展：a^Φ(n)+1 == a(mod n)

求乘法逆元的作用：除以一个数 再取模时，可以将这个数乘以这个数的逆元 再取模（将除法转化成乘法运算）

为什么要这样等价：对于 (a/b)% mod 这个式子，是不可以等价为 ((a%mod) / (b%mod))%mod 的 (例如：a=3，b=2，mod=3)，但是可以写为(a*b^-1)%mod，其中b^-1表示b的逆元。这就是逆元的作用

引用计蒜客某题面：

什么是乘法逆元：a*x = 1（mod C），那么称 x 为 a 对 C 的乘法逆元

e.g. a = 4，C = 7 则逆元 x = 2;

　　4*2=1(mod 7)          12/4%7 = (12*2)%7 (除法换乘法）

用一道入门题来来学习三中模板：https://www.luogu.org/problem/P3811

模板一：

线性打表递推法：（递推公式：inv[i] = (p-p/i) * inv[p%i] % p )

这种方法最快，但是耗费的空间多

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <climits>
#include <utility>
#include <deque>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll inv[3000006];
int main()
{
    ll a, p;
    while(~scanf("%lld %lld", &a, &p) )
    {
        memset(inv, 0, sizeof(inv));
        inv[0] = 1;
        inv[1] = 1;
        for(ll i=2; i<=a; i++ )
            inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p;
        for(ll i=1; i<=a; i++ )
            printf("%lld
", inv[i]);
    }
    return 0;
}

模板二：

拓展欧几里得算法

这道题我用这个方法TLE了，这个次慢

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <climits>
#include <utility>
#include <deque>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
typedef long long ll;

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if( b==0 )
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= (a/b)*x;
    return ;
}

int main()
{
    ll a, p;
    ll x, y;
    while( ~ scanf("%lld %lld", &a, &p) )
    {
        for(ll i=1; i<=a; i++ )
        {
            exgcd(i, p, x, y);
            x = (x%p+p)%p;
            printf("%lld
", x);
        }
    }
    return 0;
}

模板三：

费马小定理算法：（快速幂（a，p-2，p）），前提是a p互质，这个也TLE了，这个最慢

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <climits>
#include <utility>
#include <deque>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll fpm(ll x, ll power, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    for( ; power; power>>=1,(x*=x)%=mod )
    if( power&1 )
        (ans*=x)%=mod;
    return ans;
}

int main()
{
    ll a, p;
    ll x, y;
    while( ~ scanf("%lld %lld", &a, &p) )
    {
        for(ll i=1; i<=a; i++ )
        {
            printf("%lld
", fpm(i,p-2,p));
        }
    }
    return 0;
}