bzoj1911[Apio2010]特别行动队 斜率优化dp

1911: [Apio2010]特别行动队

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Sample Input

4
-1 10 -20
2 2 3 4

Sample Output

9

HINT

dp[i]=dp[j]+a*x*x+b*x+c
x=sum[i]-sum[j]

证明单调性
假设对于i点 k<j且j的决策比k优
dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+b*(sum[i]-sum[j])+c>=dp[k]+a*(sum[i]-sum[k])*(sum[i]-sum[k])+b*(sum[i]-sum[k])+c
化简得 dp[j]+a*sum[j]*sum[j]-2*a*sum[i]*sum[j]-b*sum[j]>=dp[k]+a*sum[k]*sum[k]-2*a*sum[i]*sum[k]-b*sum[k]

要证明单调性 需证明下面的式子
dp[j]+a*(sum[t]-sum[j])*(sum[t]-sum[j])+b*(sum[t]-sum[j])+c>=dp[k]+a*(sum[t]-sum[k])*(sum[t]-sum[k])+b*(sum[t]-sum[k])+c
化简得dp[j]+a*sum[j]*sum[j]-2*a*sum[t]*sum[j]-b*sum[j]>=dp[k]+a*sum[k]*sum[k]-2*a*sum[t]*sum[k]-b*sum[k]

设t>i 显然sum[t]>=sum[i] 设sum[t]=sum[i]+v
代入sum[t]得 dp[j]+a*sum[j]*sum[j]-2*a*sum[i]*sum[j]-b*sum[j]+v*sum[j]>=dp[k]+a*sum[k]*sum[k]-2*a*sum[i]*sum[k]-b*sum[k]+v*sum[k]
因为j>k 所以sum[j]>=k 上式成立，决策单调性得证
证毕

可以写出斜率式
dp[j]+a*sum[j]^2-2*a*sum[i]*sum[j]-b*sum[j]>=dp[k]+a*sum[k]^2-2*a*sum[i]*sum[k]-b*sum[k] 且j>k
=> dp[j]-dp[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*sum[k]-b*sum[j]>=sum[i]*2*a*(sum[j]-sum[k])
=> (dp[j]-dp[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*sum[k]-b*sum[j])/(2*a*(sum[j]-sum[k]))>=sum[i]

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#define ll long long
#define inf 2147483647
#define N 1000005
using namespace std;
ll dp[N],sum[N];
int a,b,c,q[N];
ll pw(ll x){return x*x;}ll S(int j,int k){return 2*a*(sum[j]-sum[k]);}
ll G(int j,int k){return dp[j]-dp[k]+a*pw(sum[j])-a*pw(sum[k])+b*sum[k]-b*sum[j];}
double slope(int j,int k){return (double)G(j,k)/S(j,k);}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    int h=1,t=2;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(h+1<t&&slope(q[h],q[h+1])<=sum[i])h++;
        int j=q[h],x=sum[i]-sum[j];
        dp[i]=dp[j]+a*pw(x)+b*x+c;
        while(h+1<t&&slope(i,q[t-1])<=slope(q[t-1],q[t-2]))t--;
        q[t++]=i;
    }
    printf("%lld",dp[n]);
    return 0;
}