bzoj2005 NOI2010 方案统计

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

80分

首先一个结论：两个点横纵坐标差为x，y，则他们线段上的整点个数为gcd(x,y)-1 （不包含端点）

n，m<=1000 可以直接枚举i，j  ans+=gcd（i,j）*2-1

100分

注意到gcd(i,j)=d  <=1e5  那么可以枚举d，ans+=（d*2-1）*f[d]  其中f[d]为gcd(i,j)为d的个数

那么问题就转化成了f[d]怎么求

在i<=n,j<=m中， 公因数有d的数对有(n/d)*(m/d)个

但是最小公因数为d的，就要减去f[d*k](k>=2&&k*d<=min(n,m))

所以我们倒序枚举求f[]即可

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
int n,m;ll f[N];

int gcd(int x,int y){
    if(y==0)return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main(){
#ifdef wsy
    freopen("data.in","r",stdin);
#else
    freopen("energy.in","r",stdin);
    freopen("energy.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m)swap(n,m);
    ll ans=0;
    for(int i=n;i;i--){
        f[i]=(ll)(n/i)*(m/i);
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
        f[i]-=f[j];
        ans+=f[i]*(2*i-1);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}