查找数组中第k大的数

  问题：  查找出一给定数组中第k大的数。例如[3,2,7,1,8,9,6,5,4]，第1大的数是9，第2大的数是8……

思考：1. 直接从大到小排序，排好序后，第k大的数就是arr[k-1]。 

2. 只需找到第k大的数，不必把所有的数排好序。我们借助快速排序中partition过程，一般情况下，在把所有数都排好序前，就可以找到第k大的数。我们依据的逻辑是，经过一次partition后，数组被pivot分成左右两部分：S左、S右。当S左的元素个数|S左|等于k-1时，pivot即是所找的数；当|S左|小于k-1，所找的数位于S右中；当|S左|>k-1，所找的数位于S左中。显然，后两种情况都会使搜索空间缩小。

算法的时间复杂度为：O(N)--详情参考算法导论。

#include<iostream>
using namespace std;
int Partition(int a[], int i, int j)
{
　　int tmp = a[j];
　　int index =i;
　　if (i < j)
　　{
　　　　for (int k=i;k<j;k++){
　　　　　　if(a[k] >= tmp){
　　　　　　　　swap(a[index++],a[k]);
　　　　　　}
　　　　}
　　　　swap(a[index],a[j]);
　　　　return index;
　　}
}

//参考 https://www.cnblogs.com/wsw-seu/p/14092811.html。k-(m-i+1)这个容易出错
int Search(int a[], int i, int j, int k)
{
　　　　int m = Partition(a, i, j);
　　　　if (k==m-i+1) return a[m];
　　　　else if (k<m-i+1)
　　　　{
　　　　　　return Search(a, i, m-1,k );
　　　　}
//后半段
　　　　else
　　　　{

　　　　　　//核心后半段：再找第 k-(m-i+1)大的数就行
　　　　　　return Search(a, m+1, j, k-(m-i+1));
　　　　}
}
int main()
{
　　　　int a[7] = { 8,7,6,1,2,3,4 };
　　　　int k = 3;
　　　　cout << Search(a,2, 6, k);
}

　　上述问题对应于寻找前K大个数。上述方法对应的数据量比较小，如果N很大，100亿？甚至更多，这个时候数据不能够全部放入内存，所以要求尽可能少遍历数据。不妨设N>K,考虑前K个数中的最大K个数的一个退化的情况：所有K个数就是最大的K个数。如果考虑第K+1个数X呢？如果X比最大的K个数中的最小的数Y小，则最大的K个数保持不变。如果X比最大的K个数中个最小的数Y大，则最大的K个数要除去Y，加入X。如果用一个数组来保存前K大的数，每加入一个数X，就扫描一遍数组。得到数组中最小的数Y，用X代替Y或者保持不变。这种方法消耗的时间O(N*K)

　　进一步，可以用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是K个数中最小的一个。每次考虑一个数X，如果X比堆顶元素Y小，则保持最小堆不变，因为这个元素比最大的K个数小。如果X

比堆顶元素Y大，那么用X替换原来的堆顶元素Y，X可能破坏原来的最小堆结构（每个结点比它的父节点大），需要更新堆来维持堆的性质。更新堆时间复杂度为O（log₂K).总的算法复杂度为O(N*log₂k)

#include <iostream>
using namespace std;
//调整堆
void HeapAdjust(int a[],int i,int size)
{
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;
    int min = i;
    if (left < size&&a[left] < a[min])
            min = left;
    if (right < size&&a[right] < a[min])
        min = right;
        if (min != i)
        {
            int temp = a[min];
            a[min] = a[i];
            a[i] = temp;
            HeapAdjust(a,min,size); //避免调整之后以min为父节点的子树不是堆
        }
}
//建立堆
void HeapBuild(int a[],int size)
{
    for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
        HeapAdjust(a,i,size);
}
//k为需要查找的最大元素个数，size为数组大小，kMax存储k个元素的最小堆  
void FindMax(int Array[], int k, int size, int kMax[])
{
    for (int i = 0; i < k; i++)
        kMax[i] = Array[i];
    HeapBuild(kMax,k);
    for (int j = k; j < size; j++)
    {
        if (Array[j] <= kMax[0]) continue;
        kMax[0] = Array[j];
        HeapAdjust(kMax,0,k);
    }
}
int main()
{
    int a[] = {10,23,17,8,52,35,7,1,28};
    int k = 4;
    int KMax[4] = {0};
    FindMax(a,k,9,KMax);
    for (int i = 0; i < k; i++)
        cout << KMax[i] << endl;
}