Dijkstra算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

附个代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=99999;
bool visit[101];//判断是否走过 
int dis[101];//记录每条边的长度 
int cmp[101][101],path[101];
int n,m,u,v,h,a,e,k;
int min1; 

void sc(int s)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dis[i]=cmp[s][i];
        if(dis[i]!=maxn)//记录路径
        path[i]=s;
        else
        path[i]=0;
    }
    visit[s]=true;
    dis[s]=0;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)//因为第一个数已确定，所以循环n-1次 
    {
        min1=maxn;
        k=s;
        for(int j=1;j<=n;j++)//查找最小值 
        {
            if(!visit[j]&&dis[j]<min1)
            {
                min1=dis[j];
                k=j;
            }
        }
        visit[k]=1;
        for(int w=1;w<=n;w++)//寻找最短路径的长度 
        {
            if(!visit[w]&&dis[w]>cmp[k][w]+dis[k])
            {
                dis[w]=cmp[k][w]+dis[k];
                path[w]=k;
            }
        } 
    }
    cout<<dis[e]<<endl;//输出最短距离 
}

void out(int u,int v)
{
    int que[101];
    int tot=1;
    que[tot]=v;
    tot++;
    int temp=path[v];
    while(temp!=u)
    {
        que[tot]=temp;
        tot++;
        temp=path[temp];
    }
    que[tot]=u;
    for(int i=tot;i>=1;i--)
    {
        if(i!=1)
        cout<<que[i]<<"-->";
        else
        cout<<que[i]<<endl;
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)//初始化
       for(int j=1;j<=m;j++)
        cmp[i][j]=maxn;
        /*memset(cmp,maxn,sizeof(cmp));*/
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u>>v>>h;
        cmp[u][v]=cmp[v][u]=h;//无向图，可逆 
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)//初始化
        dis[i]=maxn;
    cin>>a>>e;
    sc(a);
    out(a,e);
    return 0;
}