Codeforces 1248C Ivan the Fool and the Probability Theory(推公式)

题意

一个n*m的网格图，每个格子可以染黑色、白色，问你每个格子最多有一个相邻颜色相同的方案数
n,m<=1e5

思路

我们先处理(1 imes m)的情况
设(f[i][j])为前(i)个格子，最后一个为(j)的方案数
可以得到递推式(f[i][j]=f[i-1][jigoplus 1]+f[i-2][jigoplus 1])
那么(1 imes m)的答案为(f[m][0]+f[m][1])

引理

这题中的合法的染色图相邻两行要么完全相同，要么完全相反

证明：
假设第(i)行和第(i+1)行部分相同，部分相反，设白色是(0)，黑色是(1)
那么就存在一个位置(j)，使得(a[i+1][j]=a[i][j],a[i+1][j+1]!=a[i][j+1])(先不等后相等一样)
因为这四个方格可选的颜色只有两个，所以在(a[i+1][j+1])和(a[i][j+1])中一定有一个和(a[i+1][j])与(a[i][j+1])相同
也就是说，这四个方格中出现了三个一样的颜色，无论怎么组合都不满足题意，
所以不存在部分相同部分相反，引理得证

有了以上结论，我们可以可以找"什么时候完全相同，什么时候完全相反"了
可以发现，当一行里存在连续两个连续一样的颜色的时候，下一行一定与该行相反
也就是说，如果确定了第一行，里面有两个连续一样的颜色，对答案的贡献为1
第一行的这种情况方案数为(f[m][0]+f[m][1]-2)

而排除的这两种，就是第一行为(10101010..)和(01010101..)两种方案
由于引理的存在，我们可以知道，当每一行的第一个元素确定的时候，我们就确定了这行跟上一行完全相同还是相反
所以这种情况的贡献就是第一列的合法方案数，即(f[n][0]+f[n][1])

终上所述，答案为(f[m][0]+f[m][1]+f[n][0]+f[n][1]-2)

代码

ll n,m;
ll f[maxn][3];
ll F[maxn];
int main(){
    scanf("%lld %lld", &n, &m);
    f[1][0]=f[1][1]=1;
    f[2][0]=f[2][1]=2;
    F[1]=2;F[2]=4;
    for(int i = 3; i <= max(n,m); i++){
        f[i][1]=(f[i-1][0]+f[i-2][0])%mod;
        f[i][0]=(f[i-1][1]+f[i-2][1])%mod;
        F[i]=(f[i][0]+f[i][1])%mod;
    }
    printf("%lld",(F[n]+F[m]-2+mod)%mod);
    return 0;
}