对于有理分式,求解拉氏逆变换最常用的方式是部分分式分解法。一个有理分式可以表示为
[H(s) = frac{B(s)}{A(s)} = frac{displaystylesum_{n=0}^{N} b_n s^n}{displaystylesum_{m=0}^{M} a_m s^m}]
部分分式分解建立在极点分解的基础。极点即是分母 (A(s)) 的根,它有三中类型,即单根极点、共轭复根极点和重根极点,根据三种极点类型,该分式可以分解为
[H(s) = sum_{i} frac{A_i}{s-p_i} + sum_{j} frac{B_j s + C_j}{(s+alpha_j)^2 + eta_j^2} + sum_{m} sum_{r=1}^{k} frac{D_r}{(s-p_m)^r}
]
其中,
- (p_i) 是单根极点,对应的是阶跃信号、指数信号的变换式;
- (alpha_j pm j eta_j) 是共轭复根极点,对应的是正弦信号和正弦衰减信号的变换式;
- (p_m) 是 (k) 阶重根极点,对应的是斜变信号以及和斜变信号相乘的信号的变换式;
- 若有理分式为假分式,则可能存在直流项或正幂次项,对应的是冲激信号或高阶冲激信号。
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