信号与系统04 离散时间傅里叶变换

1. 离散时间傅里叶变换

• 1. 离散时间傅里叶变换
  • 1.1. 周期序列的离散傅里叶级数 DFS
    • 1.1.1. 计算公式
    • 1.1.2. 离散傅里叶级数的性质
  • 1.2. 离散时间傅里叶变换 DTFT
    • 1.2.1. 计算公式
    • 1.2.2. 性质
      • 1.2.2.1. 唯一性
      • 1.2.2.2. 奇偶不变性
      • 1.2.2.3. 周期性
      • 1.2.2.4. 线性
      • 1.2.2.5. 共轭对称性
      • 1.2.2.6. 时移、频移特性
      • 1.2.2.7. 尺度变换特性
      • 1.2.2.8. 差分、求和特性
      • 1.2.2.9. 频域微分特性
      • 1.2.2.10. 卷积特性
      • 1.2.2.11. 巴什瓦定律
  • 1.3. 周期序列的离散时间傅里叶变换
  • 1.4. 常见的离散时间傅里叶变换对
    • 1.4.1. 单边指数序列
    • 1.4.2. 单位采样序列
    • 1.4.3. 直流信号
    • 1.4.4. 周期样本序列
  • 1.5. 小结

---

1.1. 周期序列的离散傅里叶级数 DFS

连续时间周期信号可以表示成一系列复指数信号的线性加权之和（(FS)），离散的周期序列也可以表示成傅里叶级数的形式。

1.1.1. 计算公式

设离散周期序列 (x[n]) 的周期为 (N)，则基频为 (Omega_0 = frac{2pi}{N})，傅里叶系数对为：

[egin{aligned} X[k] &= frac{1}{N} sum_{n=<N>} x[n] e^{-jOmega_0 kn}\ x[n] &= sum_{k=<N>} X[k] e^{jOmega_0 kn} end{aligned} ]

1.1.2. 离散傅里叶级数的性质

与连续时间周期信号相比，离散周期序列的傅里叶级数有以下区别：

• 有限性。(x[n]) 的傅里叶系数 (X[k]) 是有限的，为 (N) 项，而连续时间的周期信号傅里叶系数一般是无限的；
• 周期性。(X[k]) 具有周期性，周期为 (N)，因此任取一个周期内((kin[k_0, k_0+N-1]))的傅里叶级数，都可以唯一确定原来的序列。
• 不存在收敛问题。不同于连续时间傅里叶级数，任何一个离散周期序列均可以通过有限项的傅里叶级数来表示，因此不存在收敛问题，也不存在吉伯斯现象。

产生与连续时间信号傅里叶级数不同的原因是：离散复指数信号的周期性，频率相差 (2pi) 的离散复指数信号是相同，因此对于 (e^{jOmega_0 k n}) 只有 (N) 个不同的谐波分量。

[e^{jOmega_0 (k+N) n} = e^{jOmega_0 k n} ]

1.2. 离散时间傅里叶变换 DTFT

1.2.1. 计算公式

[egin{aligned} X(e^{jOmega}) &= sum_{n=-infty}^{infty} x[n] e^{-jnOmega}\ x[n] &= frac{1}{2pi} int_{<2pi>} X(e^{jOmega}) e^{jnOmega} d Omega end{aligned} ]

其中，(X(e^{jOmega})e^{jnOmega}) 是周期函数，周期为 (2pi)，所以积分区间可以是任意长度为 (2pi) 的区间。

推导过程：

1. 非周期序列 (x[n]) 可以等效为一个周期无限长的周期序列 ( ilde{x}[n])。(x[n]) 相当于 ( ilde{x}[n]) 的一个周期，当周期 (N) 越大的时候，( ilde{x}(n)) 有更大的一部分与 (x[n]) 等效，即

[x[n] = lim_{N o +infty} ilde{x}[n] ]

2. 对周期序列 ( ilde{x}[n]) 进行傅里叶级数展开，即

   [ ilde{X}[k] = frac{1}{N} sum_{n=<N>} x[n] e^{-jfrac{2pi}{N}kn} ]

   考虑到 (x[n]) 的非零区间为 ([-N_1,N_1])，可以令在此区间的傅里叶级数的包络为

   [X(e^{jOmega}) = sum_{n=-infty}^{infty} x[n] e^{-jnOmega} ]

   傅里叶系数与包络的关系为

   [X[k] = frac{1}{N} X(e^{jOmega}) |_{Omega = kOmega_0} ]

3. 周期信号可以表示为包络的等间隔采样，即

   [ egin{aligned} ilde{x}[n] &= sum_{k=<N>} frac{1}{N} X(e^{kOmega_0}) e^{jOmega_0 kn}\ &= frac{1}{2pi} sum_{k=<N>} X(e^{kOmega_0}) e^{jOmega_0 kn} Omega_0 end{aligned} ]

4. 当周期 (N o +infty) 时，有( ilde{x}[n] o x[n])，(Omega_0 o 0)，则求和中的每一项表示的物理意义是一个宽度为 (Omega_0)，高度为 (X(kOmega_0) e^{jOmega_0 kn}) 的矩形的面积。根据微积分的定义，可以将其改写为积分的形式。总共有 (N) 个宽度为 (Omega_0) 的矩形，所以最终的积分区间为 (N imes Omega_0 = 2pi)，

   [x[n] = frac{1}{2pi} int_{<2pi>} X(e^{jOmega}) e^{jOmega n} dOmega ]

收敛条件：

1. 上面的推导虽然是有限长的序列的情况，但对于某些的无限长的序列也是成立的。
2. 要求序列必须绝对可和或者序列的能量是有限的（有限长的序列都满足，无限长的必须满足此条件）
   [sum_{n=-infty}^{+infty} |x[n]| < infty, quad sum_{n=-infty}^{+infty} |x[n]|^2 < infty ]

1.2.2. 性质

1.2.2.1. 唯一性

序列与离散时间的傅里叶变换是一一对应的。

1.2.2.2. 奇偶不变性

离散时间傅里叶变换不改变奇偶性，即奇序列的离散时间傅里叶变换仍是奇函数，偶序列的离散时间傅里叶变换仍是偶函数。

1.2.2.3. 周期性

• (X(e^{jOmega})) 是一个周期函数，周期为 (2pi)，(X(e^{jOmega}) = X(e^{Omega + 2pi}))；
• 靠近 (pi) 的奇数倍为信号的高频部分；
• 靠近 (pi) 的偶数倍为信号的低频部分。

1.2.2.4. 线性

[ax_1[n] + bx_2[n] leftrightarrow aX_1(e^{jOmega}) + bX_2(e^{jOmega}) ]

1.2.2.5. 共轭对称性

[x^*[n] leftrightarrow X^*(e^{-jOmega}) ]

• 信号的偶分量 (x_e[n]) 对应 (mathrm{Re}[X(e^{jOmega})])；
• 信号的奇分量 (x_o[n]) 对应 (mathrm{Im}[X(e^{jOmega})])；
• 如果 (x[n]) 为实信号，则 (X(e^{jOmega})) 是共轭对称函数（实部为偶，虚部为奇/幅度为偶，相位为奇），实部就相当于 (X(e^{jOmega})) 的偶分量，虚部就相当于 (X(e^{jOmega})) 的奇分量。（特别注意，前提条件是实序列）
• 根据奇偶不变性，若 (x[n]) 为实偶序列，则 (X(e^{Omega})) 只存在为偶分量的实部；若 (x[n]) 为实奇序列，则 (X(e^{Omega})) 只存在为奇分量的虚部；

1.2.2.6. 时移、频移特性

• 时移特性

  [x[n - n_0] leftrightarrow X(e^{jOmega}) e^{-jOmega n_0} ]

• 频移特性

  [x[n] e^{jOmega_0 n} leftrightarrow X(e^{j(Omega - Omega_0)}) ]

1.2.2.7. 尺度变换特性

离散序列的时间尺度的变换定义为：（要求 (k) 是一个正整数）

[x_{(k)}[n] = egin{cases} x[n/k]&, n 是 k 的倍数\ 0 &, 其他 end{cases} ]

例如：(k=3)，相当于在原序列的每项之间插((3-1))个0，则在频域上傅里叶变换被压缩了，

[x_{(k)}[n] leftrightarrow X(e^{jkOmega}), quad kge1 ]

【例】
已知序列 (x[n] = delta[n+1] + delta[n-1])，可以分别求得:

[egin{aligned} x[n] &leftrightarrow 2cos Omega\ x_{(2)}[n] &leftrightarrow 2cos (2Omega)\ x_{(3)}[n] &leftrightarrow 2cos (3Omega)\ end{aligned} ]

【注意】

• 时域扩展后，频域是被压缩了，但是幅度是没发生变换，因为插 0 不会丢失原信号的信息，不会改变序列的总能量；
• (k) 必须是正整数，上式才成立。若 (k < 1) 例如 (k = 1/2)，相当于从原序列中每隔一个元素抽取一个元素组成一个新的序列，与原序列相比是丢失很多信息的，例如：计算 (X_k(e^{jOmega})) 的过程就是一个累加的过程，显然，抽取之后参与累加的元素变少了，抽取后的傅里叶函数至少在幅度上会发生变化，故上式是不成立的。

1.2.2.8. 差分、求和特性

后向差分特性

[ riangledown x[n] = x[n] - x[n-1] leftrightarrow (1-e^{-jOmega}) X(e^{jOmega}) ]

求和特性

[sum_{k=-infty}^{n} x[k] leftrightarrow frac{1}{1-e^{-jOmega}} X(e^{jw}) + pi X(0) sum_{k=-infty}^{+infty} delta(Omega - 2pi k) ]

其中，(X(0)) 是 (x[n]) 的直流分量，即 (X(0) = sum_{k} x[k]).

1.2.2.9. 频域微分特性

[(-n) x[n] leftrightarrow frac{d X(e^{jOmega})}{d (jOmega)}\ n x[n] leftrightarrow jfrac{d X(e^{jOmega})}{dw} ]

频域的微分运算可以转化为时域的乘法运算，因子为 (-n).

1.2.2.10. 卷积特性

• 时域卷积特性

[x[n] * y[n] leftrightarrow X(e^{jOmega}) Y(e^{jOmega}) ]

• 频域卷积特性

  [x[n] y[n] leftrightarrow frac{1}{2pi} X(e^{jOmega}) circledast Y(e^{jOmega}) = frac{1}{2pi} int_{<2pi>} X(e^{jeta}) Y(e^{jOmega-jeta}) d eta ]

  其中, (circledast) 表示周期卷积。

  频域卷积有两个重要的应用：

  • 调制，对信号的频谱进行搬移；
  • 加窗，对时域信号进行截断，滤波等。

1.2.2.11. 巴什瓦定律

[sum_{n=-infty}^{+infty} |x[n]|^2 = frac{1}{2pi} int_{<2pi>} |X(e^{jOmega})|^2 dOmega ]

1.3. 周期序列的离散时间傅里叶变换

周期序列的离散时间傅里叶变换有两种推导方式：

• 傅里叶级数展开
• 时域卷积

再推导之前，给出以下离散时间傅里叶变换对：

[egin{aligned} e^{jOmega_0 n} &leftrightarrow 2pi sum_{k=-infty}^{infty} delta(Omega - Omega_0 - 2pi k)\ sum_{k=-infty}^{infty} delta[n-kN] &leftrightarrow Omega_0 sum_{k=-infty}^{infty} delta(Omega - kOmega_0) end{aligned} ]

利用傅里叶级数的推导过程

周期序列可以用傅里叶技术表示，即

[egin{aligned} ilde{x}[n] &= sum_{k=<N>} X[k] e^{jfrac{2pi}{N}kn}\ &leftrightarrow sum_{k=<N>} 2pi X[k] sum_{m=-infty}^{infty} delta(Omega - frac{2pi}{N}k - 2pi m)\ &= 2pi X[0] sum_{m=-infty}^{infty} delta(Omega - 2pi m) \ &quad + 2pi X[1] sum_{m=-infty}^{infty} delta(Omega - frac{2pi}{N} - 2pi m)\ &quad + 2pi X[2] sum_{m=-infty}^{infty} delta(Omega - frac{2pi}{N}cdot 2 - 2pi m)\ &quad cdots\ &quad + 2pi X[N-1] sum_{m=-infty}^{infty} delta(Omega - frac{2pi}{N}cdot (N-1) - 2pi m)\ &= sum_{k=-infty}^{+infty} 2pi X[k] delta(Omega - frac{2pi}{N}k) end{aligned} ]

利用时域卷积性质的推导过程

同连续时间信号类似，周期序列 ( ilde{x}[n]) 可由非周期序列 (x[n]) 进行周期延拓得到，即

[ ilde{x}[n] = x[n] * sum_{k=-infty}^{+infty} delta[n-kN] ]

根据时域卷积特性，有

[ ilde{X}(e^{jOmega}) leftrightarrow X(e^{jOmega}) cdot Omega_0 sum_{k=-infty}^{infty} delta(Omega - kOmega_0) = sum_{k=-infty}^{+infty} Omega_0 X(e^{jOmega_0}) delta(Omega - kOmega_0) ]

傅里叶级数与离散时间傅里叶变换的关系为：(X[k] = frac{1}{N}X(e^{jfrac{2pi}{N}k}))，两种推导的方式的最终结果是一致的。

对于周期序列，其离散时间傅里叶变换为一系列的冲激函数，也是一个周期函数。在一个周期内，每个冲激的幅度为该谐波分量傅里叶级数的 (2pi) 倍。

1.4. 常见的离散时间傅里叶变换对

离散时间傅里叶变换的计算实际上就是计算等比数列的求和问题。

在实际中，离散时间傅里叶变换用得比较少，(z) 变换比较多些。

下面给出在求系统响应时常见的变换对：

1.4.1. 单边指数序列

[a^{n} u[n] leftrightarrow frac{1}{1-ae^{-jOmega}},quad |a|<1 ]

1.4.2. 单位采样序列

[delta[n] leftrightarrow 1\ delta[n-n_0] leftrightarrow e^{-jOmega n_0} ]

1.4.3. 直流信号

[1 leftrightarrow 2pi sum_{k=-infty}^{infty} delta(Omega - 2pi k)\ e^{jOmega_0 n} leftrightarrow 2pi sum_{k=-infty}^{infty} delta(Omega - Omega_0 - 2pi k) ]

1.4.4. 周期样本序列

[sum_{k=-infty}^{infty} delta[n-kN] leftrightarrow Omega_0 sum_{k=-infty}^{infty} delta(Omega - kOmega_0) ]

直流信号和周期样本序列不能或难以根据定义式求出，其推导过程利用了连续时间采样的一些知识。

1.5. 小结

• 时域的离散性对应了频域的周期性（非周期离散序列的离散时间傅里叶变换为周期连续函数）
• 时域的周期性对应了频域的离散性（周期离散序列的离散时间傅里叶变换为周期的离散冲激族）
• 与连续时间傅里叶变换相比的相同点：唯一性，线性，奇偶不变性，共轭特性，时移频移特性，频域微分特性，时域卷积
• 与连续时间傅里叶变换相比的不相同点：
  • 周期性：离散时间傅里叶变换为周期函数
  • 时域展缩：序列时域上只能“展”（插0），不能“缩”（抽样）。对于连续时间为 (f(at)leftrightarrow frac{1}{|a|} f(frac{t}{a}))，而离散时间为 (x_{(a)}[n] leftrightarrow X(e^{jaOmega}))
  • 频域卷积特性：离散时间序列对应的是周期卷积
  • 巴什瓦定律：频域的能量的积分区间长度为 (2pi)