微分运算的时域扩展
【问题】设 (g(t)) 可导，令 (f(t) = frac{dg(t)}{dt})，求 (f(2t)=frac{dg(2t)}{dt}) 是否成立?
【答】否。
将导数写成极限的形式，即
[egin{aligned}
f(t) &= frac{dg(t)}{dt}\
&= lim_{Delta t o 0} frac{g(t+Delta t) - g(t)}{Delta t}
end{aligned}
]
则有
[egin{aligned}
f(2t) &= lim_{Delta t o 0} frac{g(2t+Delta t) - g(2t)}{Delta t}
end{aligned}
]
对于等式的右边有
[egin{aligned}
frac{dg(2t)}{dt}
&= lim_{Delta t o 0} frac{g[2(t+Delta t)] - g(2t)}{Delta t}\
&= 2lim_{Delta t o 0} frac{g(2t+2Delta t) - g(2t)}{2Delta t}\
&= 2lim_{Delta t' o 0} frac{g(2t+Delta t') - g(2t)}{Delta t'}\
&= 2 f(2t)
end{aligned}
]
因此，
[f(2t) = frac{1}{2} frac{d g(2t)}{dt} = frac{d g(2t)}{d(2t)}
]
进一步的结论，若 (f(t) = frac{dg(t)}{dt})，则 (f(at) = frac{dg(at)}{d(at)}).
在使用傅里叶变换的频域变换特性的时候有
[g(t) = tf(t) leftrightarrow jfrac{dF(jw)}{dw}
]
则
[g(at) = atcdot f(at) leftrightarrow j frac{dF(jw)}{d(aw)}
]