信号与系统01 信号部分

1. 信号知识点

• 1. 信号知识点
  • 1.1. 信号的分类
    • 1.1.1. 确定信号和随机信号
    • 1.1.2. 连续时间信号和离散时间信号
    • 1.1.3. 周期信号和非周期信号
    • 1.1.4. 对称信号和非对称信号
    • 1.1.5. 能量有限信号，功率有限信号，能量功率均无限信号
    • 1.1.6. (反)因果信号、非因果信号
    • 1.1.7. 左边信号、右边信号和双边信号
  • 1.2. 典型信号的特点
    • 1.2.1. 实指数信号
    • 1.2.2. 虚指数信号
    • 1.2.3. 一般的复指数信号
    • 1.2.4. 离散时间的单位脉冲信号和单位阶跃信号
    • 1.2.5. 连续时间的单位冲激信号和单位阶跃信号
  • 1.3. 信号的运算
    • 1.3.1. 信号的(独)自变量的运算
    • 1.3.2. 信号的微积分运算
    • 1.3.3. 信号的卷积运算

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1.1. 信号的分类

1.1.1. 确定信号和随机信号

确定信号：信号是关于时间的一个函数
随机信号：每一时刻信号的值服从一定的概率分布

1.1.2. 连续时间信号和离散时间信号

模拟信号：时间连续，取值连续
阶梯信号：时间连续，取值离散
抽样信号：时间离散，取值连续
数字信号：时间离散，取值离散

1.1.3. 周期信号和非周期信号

对于连续时间信号，周期信号 (x(t)) 的数学表示为

[x(t) = x(t + kT_0), k in Z ]

其中，(T_0) 为基波周期，基波频率定义为 (f_0 = 1/T_0)，基波角频率定位为 (w_0 = 2pi f_0 = 2pi / T_0)。

对于离散时间周期信号，定义为

[x[n] = x[n + mN_0], m in Z ]

其中基波周期 (N_0) 只能取整数（由于离散信号只能在整数时刻取值）。

直流信号的周期未定义，周期可以是任意值。

问：两个周期信号之和一定是周期信号吗？
对于连续时间信号，必须要求两个周期(T_1)和(T_2)存在公倍数（(exist n_1, n_2 in Z, T_1 n_1 = T_2 n_2)），则两信号之和仍为周期信号，周期为(T_1)和(T_2)的最小公倍数；
对于离散时间信号，两周期序列之和必是周期序列（离散时间信号的周期为正整数，两正整数之间总存在最小公倍数）。

技巧：一般需要使用倍角公式或积化差和公式将虚指数信号的乘积转化为虚指数信号的和的形式。

[egin{cases} sin [(a+b)x] = sin(ax) cos(bx) + cos(ax) sin(bx)\ sin [(a-b)x] = sin(ax) cos(bx) - cos(ax) sin(bx)\ end{cases}\ sin(ax) cos(bx) = frac{1}{2}{ sin[(a-b)x] + sin[(a+b)x]}\ cos(ax) sin(bx) = frac{1}{2}{ sin[(a-b)x] - sin[(a+b)x]}\ egin{cases} cos [(a+b)x] = cos(ax) cos(bx) - sin(ax) sin(bx)\ cos [(a-b)x] = cos(ax) cos(bx) + sin(ax) sin(bx)\ end{cases}\ cos (ax) cos (bx) = frac{1}{2}{ cos[(a-b)x] + cos[(a+b)x] }\ sin (ax) sin (bx) = frac{1}{2}{ cos[(a-b)x] - cos[(a+b)x] }\ egin{cases} cos^2 heta = (cos 2 heta + 1)/2\ sin^2 heta = (1 - cos 2 heta)/2 end{cases} ]

连续时间与离散时间的虚指数信号的对比

• (e^{jwt}) 是周期信号，周期为 (T=frac{2pi}{w})，频率与信号是一一对应的，且振荡频率随 (w) 单调变化。

• (e^{jwn}) 不一定是周期信号（必须满足 (w) 为 (2pi) 的有理数倍才为周期信号），(w, w+2pi, w+4pi,cdots) 对应的是同一个信号。当 (w=pi) 信号达到最高频率，当 (w=0,2pi) 信号达到最低频率。

1.1.4. 对称信号和非对称信号

奇信号

[x(t) = -x(-t), x[n] = -x[-n] ]

偶信号

[x(t) = x(-t), x[n] = x[-n] ]

奇谐信号 信号平移半个周期后，与原信号相加为0

[x(t) + x(t + frac{T}{2}) = 0, x[n] + x[n + frac{N}{2}] = 0 ]

偶谐信号 信号平移半个周期(T/2)后，与原信号相同（本身的周期为(T/2)）

[x(t) = x(t + frac{T}{2}), x[n] = x[n + frac{N}{2}] ]

任意一个信号 (x(t)) / (x[n]) 均可以分解为奇信号分量(x_o(t))和偶信号分量(x_e(t))之和，即

[egin{aligned} x(t) &= x_o(t) + x_e(t)\ x_o(t) &= frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]\ x_e(t) &= frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]\ end{aligned} ]

1.1.5. 能量有限信号，功率有限信号，能量功率均无限信号

（1）有限区间内信号的能量和功率

连续时间信号 (x(t)) 在 (t_1 le t le t_2) 内的能量和平均功率为

[egin{aligned} E_t &= int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt\ P_t &= frac{1}{t_2-t_1} E_t end{aligned} ]

离散时间信号 (x[n]) 在 (n_1 le n le n_2) 内的能量和平均功率为

[egin{aligned} E_n &= sum_{n=n_1}^{n_2} |x[n]| ^2\ P_n &= frac{1}{n_2-n_1+1} E_n end{aligned} ]

【易错点】：

1. 注意求信号的能量是对信号的模值的平方（特别是复数信号）；
2. 求离散时间信号的平均功率注意序列的个数为 (n_2-n_1+1) 而非 (n_2-n_1)；

（2）无穷区间内信号的能量和功率

一般计算的对象是周期信号，计算的思路：先计算一/两个周期内（包含正负两个时间方向）信号的能量，再求极限。

对于连续时间信号：

[egin{aligned} E_infty &= lim_{T o +infty} int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = int_{-infty}^{infty} |x(t)|^2 dt\ P_infty &= lim_{T o +infty} frac{1}{2T} E_{_T} = lim_{T o +infty} frac{1}{2T} int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt end{aligned} ]

对于离散时间信号：

[egin{aligned} E_infty &= lim_{N o infty} sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 = sum_{n=-infty}^{infty} |x[n]|^2\ P_infty &= lim_{N o infty} frac{1}{2N+1} E_{_N} = lim_{N o infty} frac{1}{2N+1}sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 end{aligned} ]

（3）根据信号的能量和功率进行分类

1. 能量有限信号 (E_infty < infty)，平均功率必为0，一般是持续时间信号有限的信号
2. 功率有限信号 (P_infty < infty)，信号的能量为无穷，一般是持续时间无限的周期信号
3. 能量和功率均无限信号，诸如 (x(t)=t) 等信号

1.1.6. (反)因果信号、非因果信号

因果信号： 信号在0时刻以前没有信号（或0时刻接入）

[f(t) equiv 0, t < 0 ]

反因果信号: (f(t) equiv 0, t > 0 )

非因果信号： 信号在0时刻以前不等于0

[f(t) ot = 0, t < 0 ]

1.1.7. 左边信号、右边信号和双边信号

右边信号： 信号只在某个时间点右边有

[f(t) equiv 0, t < t_0 ]

左边信号： 信号只在某个时间点左边有

[f(t) equiv 0, t > t_0 ]

双边信号： 既不是左边信号，又不是右边信号

1.2. 典型信号的特点

连续时间的复指数信号形式如下：

[x(t) = Ce^{at} ]

其中，(C) 和 (a) 均为复数。

1.2.1. 实指数信号

当 (C) 和 (a) 均为实数，则 (a) 的正负决定波形的单调性。

1.2.2. 虚指数信号

(C) 为实数，(a) 为纯虚数的信号，例如周期复指数信号为(x(t) = e^{jwt})

1.2.3. 一般的复指数信号

(C) 和 (a) 至少有一个为复数的信号。设 (C = |C|e^{j heta}) 和 (a=r+jw)，由欧拉公式有

[Ce^{at} = |C|e^{j heta} e^{(r+jw)t}=|C|e^{rt}e^{j(wt + heta)} = |C|e^{rt} cos(wt+ heta) + j |C|e^{rt} sin(wt+ heta) ]

1.2.4. 离散时间的单位脉冲信号和单位阶跃信号

（1）单位脉冲

[delta[n] = egin{cases} 0, & n ot = 0\ 1, & n = 0 end{cases} ]

（2）单位阶跃

[u[n] = egin{cases} 0, & n < 0\ 1, & n ge 0 end{cases} ]

（3）离散时间单位脉冲信号和单位阶跃信号的关系

[delta[n] = u[n] - u[n-1] = riangledown u[n] ]

( riangledown f(k) = f(k)-f(k-1)) 表示后向差分，( riangle f(k) = f(k+1)-f(k)) 表示前向差分。

[u[n] = sum_{m=-infty}^{n} delta[m] ]

单位脉冲和单位阶跃信号为求和和差分的关系，两者互为逆运算。单位阶跃信号可以表示为

[u[n] = sum_{m=0}^{+infty} delta[n-m] ]

【注意】

1. 和连续时间单位阶跃信号不同，离散时间段额单位阶跃信号在 (n=0) 处是有定义的
2. 矩形序列可以表示的为两个单位阶跃信号相减，例如 (u[n-a]-u[n-b]) 其实表示的是从 (a sim b-1) 的单位脉冲，而非 (a sim b)

1.2.5. 连续时间的单位冲激信号和单位阶跃信号

（1）单位阶跃信号

[u(t) = egin{cases} 0, & t < 0\ 1, & t > 0 end{cases} ]

（2）单位冲激信号与单位阶跃信号的关系

[u(t) = int_{-infty}^{t} delta( au) d au ]

[delta(t) = frac{mathrm{d} u(t)}{mathrm{d}t} ]

【注意】

1. 一般是不讨论的 (u(t)) 在 (t=0) 处的值，或者认为 (u(0) = frac{1}{2}[u(0^+)+u(0^-)=0.5)
2. (u(t))的(t=0)处就是一个间断点，对其求导可以得到一个冲激信号，其冲激强度为(u(0^+)-u(0^-))
3. (delta(t))和(delta^prime(t))的性质

1.3. 信号的运算

1.3.1. 信号的(独)自变量的运算

时移

(x(t)) 向左平移 2 个时间单位，得到 (x(t+2))；
(x(t)) 向右平移 1 个时间单位，得到 (x(t-1))；
(x(2t)) 向左平移 3 个时间单位，得到 (x[2(t+3)]=x(2t+6))；
(x(2t)) 向y右平移 1 个时间单位，得到 (x[2(t-1)]=x(2t-2))；

时间反转

(x(t)) 反褶得到 (x(-t))；
(x(2t)) 反褶得到 (x(-2t))；
(x(2t+3)) 反褶得到 (x(-2t+3))；

扩展与压缩

若 (|a| > 1)，则变换后的信号 (x(at)) 是 (x(t)) 在时间轴上压缩 (1/|a|) 倍的结果；若 (|a|<1)，则变换后的信号(x(at)) 是 (x(t)) 在时间轴上扩展 (|a|) 倍的结果。

一般情况下，扩展变换不会改变信号的最大值和最小值，但是对于冲激函数，需要使用展缩特性修改其强度。（扩展导致的面积增大，强度增强，反之强度减小）

1.3.2. 信号的微积分运算

微分运算 通常用符号(frac{dx(t)}{dt})表示。

【问】：如何处理信号微分运算的间断点，不可导点？

设该间断点为 (t_0)，则在该点的导数为一个冲激函数 (kdelta(t-t_0))，其强度为 (k=x(t_0^+)-x(t_0^-))。

有部分信号不存在间断点，但是存在不可导点，如(x(t) = |t|) 在 (t=0) 处不连续，按照上述定义，其在 (t=0) 的冲激强度为 0。

1.3.3. 信号的卷积运算

卷积运算具有交换律，结合律，分配律、微积分特性和时不变性。

交换律: (f(t)*g(t) = g(t) * f(t))

结合律：([f(t)*g(t)]*h(t) = f(t) * [g(t) * h(t)])

分配律：(f(t)*[g(t) + h(t)] = f(t)*g(t) + f(t)*h(t))

时不变性：

[egin{aligned} s(t) &= f(t)*g(t)\ s(t-t_1-t_2) &= f(t-t_1) * g(t-t_2) end{aligned} ]

微积分特性：（要求卷积信号在 (-infty) 上的值为0）

[egin{aligned} frac{d f(t)}{dt} * g(t) &= f(t) * frac{d g(t)}{dt} = frac{d }{dt}[f(t) * g(t)]\ int_{-infty}^{t} f( au) d au * g(t) &= f(t) * int_{-infty}^{t} g( au) d au = int_{-infty}^{t} [f( au) * g( au)] d au\ f(t) * g(t) &= int_{-infty}^{t} f( au) d au * frac{dg(t)}{dt} end{aligned} ]