[数学] 方差和标准差

均值：

[mu = frac{1}{m}sum^m_{i=0}{x_i} ]

方差的定义：

[sigma^2=frac{1}{m}sum (x_i-mu)^2 ]

标准差：

[std = sqrt{sigma^2} ]

|第一组|身高cm|(|x-mu|)|((x-mu)^2)|第二组|身高cm|(|x-mu|)|((x-mu)^2)|
|--|--|--|--|--|--|--|--|
|A1|188|10|100|A2|166|12|144|
|B1|169|9|81|B2|175|3|9|
|C1|173|5|25|C2|176|2|4|
|D1|175|3|9|D2|178|0|0|
|E1|185|7|49|E2|182|4|16|
|F1|178|0|0|F2|191|13|169|
||(sum=1068)|(sum=34)|(sum=264)||(sum=1068)|(sum=34)|(sum=342)|
||均值(mu=1068/8=178)||方差(sigma=264/6=44)||均值(mu=1068/6=178)||方差(sigma=342/6=57)|
||||标准差(std=sqrt{44}=6.63)||||标准差(std=sqrt{57}=7.55)|

从上面的两组数字可以看到：

1. 两组的身高总和一样：1068cm
2. 两组的平均值一样：178cm
3. 两组的差的绝对值的和一样：34
4. 第一组的身高比较接近，因此方差为44
5. 第二组的身高相差悬殊，因此方差为57

平方计算可以放大远离平均值的异常值。

数学期望

1.数学期望的定义

在概率论和统计学中，数学期望（或均值）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
随机变量包括离散型和连续型，数学期望的计算也分离散型和连续型。

（1）离散型

如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。

（2）连续型

若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。

2. 计算公式

设离散型随机变量X的分布律 (P(X=x_k)=p_k, k=1,2,...), (x_k)为第k个值，(p_k)为第k个值出现的概率。

[E(X) = sum_{k=1}^N(x_k cdot p_k) ]

3. 例子

52张扑克牌，其中有4张A，抽中A得10元，否则输1元。求赢钱的数学期望。

抽中A的概率 (P(isA) = 4/52= frac{1}{13})

没抽中A的概率 (P(isNotA) = (52-4)/52= frac{12}{13})

赢钱期望E = (frac{1}{13} * 10 + frac{12}{13} * (-1) = frac{-2}{13})

即 赢钱期望E小于0。

均值mean，统计学概念，是在你有一定量的数据后，加权平均后计算出的数值。
期望E(Expected)，概率论概念，是在你对随机变量的概率进行估计后，求出的预期数值。

均值有权重，期望有概率，在日常生活中，很多时候我们可以粗略地把他们看成同一个概念。
举个例子：你要统计你们班男生的身高，假设你们班有10个男生，以下是你收集到的数据：
170,172,175,176,172,176,176,175,172,176

那么，均值=（170+172+175+176+172+176+176+175+172+176）/10=174cm

同时，我们可以看到，170出现了1次，175出现了2次，172出现了3次，176出现了4次，
加权平均值：170x(1/10)+175x(2/10)+172x(3/10)+176x(4/10)=174
可以看到，均值和加权平均值的计算结果一致，因为均值计算是加权均值计算的一种特殊形式
期望=170X(1/10)+175X(2/10)+172X(3/10)+176X(4/10)=174cm

方差(var = (170-174)^2*0.1 + (175-174)^2*0.2 + (172-174)^2*0.3 + (176-174)^2)*0.4 = 4.6)

标准差 $std = sqrt{var} = sqrt{4.6} = 2.14 cm

注意方差没有单位，标准差有单位。