差分约束，常见的板子类题目，但又不太板子，稍微总结一下：
(1.)常见的差分约束，将不等式转化为(SPFA)的松弛操作，注意最短路与最长路的区分即可。
(Eg:[USACO05DEC])布局
较为板子的板子，如果有(x_i-x_jleq d)，建边(j)向(i)，边权为(d)，跑最短路，这是我们最开始的想法，但是这一题告诉我们了一个重要的事情，我们要从(0)向(x_i)建一条边权为(0)的边，先从(0)跑一遍(SPFA)，再从(1)跑一遍，因为我们不能保证图的连通性……
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=30010;
int n,Ml,Md,num_edge,ans;
int head[N<<1],Cnt[N],dis[N],Vis[N];
struct Edge{int next,dis,to;} edge[N<<1];
inline void Add(int from,int to,int dis)
{
edge[++num_edge].next=head[from];
edge[num_edge].dis=dis;
edge[num_edge].to=to;
head[from]=num_edge;
}
inline void Spfa(int S)
{
memset(Cnt,0,sizeof(Cnt));
memset(Vis,0,sizeof(Vis));
memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
queue<int> q;q.push(S);dis[S]=0;Vis[S]=1;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();q.pop();Vis[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
if(dis[edge[i].to]>dis[x]+edge[i].dis)
{
dis[edge[i].to]=dis[x]+edge[i].dis;
Cnt[edge[i].to]=Cnt[x]+1;
if(Cnt[edge[i].to]>=n) {puts("-1");exit(0);}
if(!Vis[edge[i].to]) q.push(edge[i].to),Vis[edge[i].to]=1;
}
}
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1.in","r",stdin);
#endif
n=read();Ml=read();Md=read();
for(int i=1;i<=n;i++) Add(0,i,0);
for(int i=1,u,v,d;i<=Ml;i++)
u=read(),v=read(),d=read(),Add(u,v,d);
for(int i=1,u,v,d;i<=Md;i++)
u=read(),v=read(),d=read(),Add(v,u,-d);
Spfa(0),Spfa(1);
printf("%d",(dis[n]==0x3f3f3f3f?-2:dis[n]));
}
(2.)特殊类型的差分约束
(Eg:[SCOI2008])天平
我们设(Max[i][j])表示(i,j)的最大可能差值，(Min[i][j])表示(i,j)的最小可能差值，直接跑(Floyd)即可，这类题的特殊之处在于其设的不同，并不是单纯地跑最短路。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=70;
int n,A,B,num_edge,Max[N][N],Min[N][N],ans1,ans2,ans3;
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
//freopen("1.in","r",stdin);//Ans=1 4 1;
freopen("2.in","r",stdin);//Ans=18 12 11;
#endif
n=read(),A=read(),B=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
char s[N];scanf("%s",s);
for(int j=0;j<n;j++)
if(s[j]=='='||i==j+1) Max[i][j+1]=Min[i][j+1]=0;
else if(s[j]=='+') Max[i][j+1]=2,Min[i][j+1]=1;
else if(s[j]=='-') Max[i][j+1]=-1,Min[i][j+1]=-2;
else Max[i][j+1]=2,Min[i][j+1]=-2;
}
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
if(i!=k)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(j!=k&&i!=j)
{
Max[i][j]=min(Max[i][j],Max[i][k]+Max[k][j]);
Min[i][j]=max(Min[i][j],Min[i][k]+Min[k][j]);
}
for(int C=1;C<=n;C++)
if(A!=C&&B!=C)
for(int D=1;D<C;D++)
if(A!=D&&B!=D)
{
ans1+=(Min[A][C]>Max[D][B])||(Min[A][D]>Max[C][B]);
ans3+=(Min[C][A]>Max[B][D])||(Min[D][A]>Max[B][C]);
ans2+=((Min[A][C]==Max[A][C])&&(Min[D][B]==Max[D][B])&&(Min[A][C]==Min[D][B]))||((Min[A][D]==Max[A][D])&&(Min[C][B]==Max[C][B])&&(Min[A][D]==Min[C][B]));
}
printf("%d %d %d",ans1,ans2,ans3);
}
(Eg:[1007])倍杀测量者
这一题题意需要简化后才能出来思路，先看到找答案，显然二分，然后考虑判断答案是否合法。
显然我们要把图重建一遍，但是所谓的“女装(Flag)“该怎么办？考虑一个人在什么情况下要女装，当(i)立了一个(Flag)曰：“我没(k)倍杀选手(j)，我就女装时”，如果他不满足(x_i>x_j*k)时就会被强迫女装。
同理，当(i)立了”选手Y把我kkk倍杀，我就女装“，如果他不满足(x_i>x_j*frac{1}{k})时就会被强迫女装。
对于选手(i)固定的分数(x)，我们建边(0)到(i)，边权为(x)，建边(i)到(0)，边权为(frac{1}{x})。
此时我们将最短路求和转化为最短路求积即可，如果要取模，就取(log)，但这一题并不要。（我记得某个毒瘤学长就出了这样的一道题……）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=30010;
const double Eps=1e-8;
double dis[N],X[N];
int n,Fls,Cos,num_edge;
int head[N<<1],Cnt[N],Vis[N],C[N];
struct Flag{int typ,A,B;double k;} Oier[N];
struct Edge{int next,to;double dis;} edge[N<<1];
inline void Add(int from,int to,double dis)
{
edge[++num_edge].next=head[from];
edge[num_edge].dis=dis;
edge[num_edge].to=to;
head[from]=num_edge;
}
inline bool Spfa(int S)
{
memset(Cnt,0,sizeof(Cnt));
memset(Vis,0,sizeof(Vis));
memset(dis,0,sizeof(dis));
queue<int> q;q.push(S);Vis[S]=1;dis[S]=1;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();q.pop();Vis[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
if(dis[edge[i].to]<dis[x]*edge[i].dis)
{
dis[edge[i].to]=dis[x]*edge[i].dis;
if(!Vis[edge[i].to])
{
q.push(edge[i].to),Vis[edge[i].to]=1;
Cnt[edge[i].to]=Cnt[x]+1;
if(Cnt[edge[i].to]>n+1) return 1;
}
}
}
return 0;
}
inline bool Check(double T)
{
num_edge=0;memset(head,0,sizeof(head));
for(int i=1;i<=Cos;i++)
Add(0,C[i],X[i]),Add(C[i],0,1.0/X[i]);
for(int i=1;i<=Fls;i++)
if(Oier[i].typ==1) Add(Oier[i].B,Oier[i].A,Oier[i].k-T);
else Add(Oier[i].B,Oier[i].A,1.0/(Oier[i].k+T));
return Spfa(0);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
//freopen("1.in","r",stdin);//Ans=-1;
freopen("2.in","r",stdin);//Ans=3.9999993984;
#endif
double l=0,r=0,ans=-1;
n=read();Fls=read();Cos=read();
for(int i=1;i<=Fls;i++)
{
Oier[i].typ=read(),Oier[i].A=read();
Oier[i].B=read(),Oier[i].k=(double)read();
r=max(Oier[i].k,r);
}
//cout<<l<<' '<<r;
for(int i=1;i<=Cos;i++) C[i]=read(),X[i]=(double)read();
while(r-l>Eps)
{
double mid=(l+r)/2;
if(Check(mid)) l=ans=mid;
else r=mid;
}
ans==-1?puts("-1"):printf("%.10lf
",ans);
}