[转]大数乘法的几种算法分析及比较（2014腾讯南京笔试题）

来源：http://blog.csdn.net/chhuach2005/article/details/21168179

1.题目

       编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。

2.题目分析

       该题相继被ACM、华为、腾讯等选作笔试、面试题，笔者2014年替师兄去腾讯笔试就遇到此题，当然若无准备要写出这种程序，还是要花一定的时间的。故，觉得有必要深入研究一下。搜索了网上的大多数该类程序和算法，发现，大数乘法主要有模拟手工计算的普通大数乘法，分治算法和FFT算法。其中普通大数乘法占据了90%以上，其优点是空间复杂度低，实现简单，时间复杂度为O（N²），分治算法虽然时间复杂度降低为,  

       但其实现需要配 合字符串模拟加减法操作，实现较为复杂，

    参考博客1http://cnn237111.blog.51cto.com/2359144/1201901 

    FFT算法则更为复杂，较少适用，有兴趣

    参考博客2 http://blog.csdn.net/hondely/article/details/6938497

        和博客3http://blog.csdn.net/jackyguo1992/article/details/12613287。

3.题目解答

3.1 逐位相乘处理进位法

        参考博客4的思路

        乘积是逐位相乘，也就是aibj，结果加入到积C的第i+j位，最后处理进位即可，例如：A =17 = 1*10 + 7 = （7,1）最后是十进制的幂表示法，幂次是从低位到高位，以下同。B=25 = 2*10 + 5 = (5, 2);C = A * B = (7 * 5, 1 * 5 + 2 * 7, 1 * 2) = (35, 19, 2) = (5, 22, 2) = (5, 2. 4)=425。

原博客的思路为：
（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

     原博客中采用指针参数传递，字符串长度有限制，改为通过string传参数，按原思路编程如下：

头文件和数据结构：

#include <iostream>  
#include <string>  
#include <vector>  
#include <stdlib.h>  
using namespace std;  
struct bigcheng  
{  
    vector<int> a;  
    vector<int> b;  
    string result_str;  
};  
void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng);//字符串转换为数字并反转  
void multiply(bigcheng &tempchengh,vector<int> &result_num);//逐位相乘,处理进位消除多余的0  
void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num);//将计算结果转换为字符串并反转 

　　（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng)  
{  
    int size_a=a.size();  
    int size_b=b.size();  
    for (int i=size_a-1;i>=0;i--)  
    {  
        tempcheng.a.push_back(a[i]-'0');  
    }  
    for (int i=size_b-1;i>=0;i--)  
    {  
        tempcheng.b.push_back(b[i]-'0');  
    }  
}  

　　

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；代码为：

void multiply(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)  
{  
    for (unsigned int i=0;i<tempcheng.a.size();i++)  
    {  
        for (unsigned int j=0;j<tempcheng.b.size();j++)  
        {  
            result_num[i+j]+=(tempcheng.a[i])*(tempcheng.b[j]);  
        }  
    }  
    for (int i=result_num.size()-1;i>=0;i--)  
    {  
        if (result_num[i]!=0)  
        {  
            break;  
        }  
        else  
            result_num.pop_back();  
    }  
    int c=0;  
    for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)//处理进位  
    {  
        result_num[i]+=c;  
        c=result_num[i]/10;  
        result_num[i]=result_num[i]%10;  
    }  
    if (c!=0)  
    {  
        result_num.push_back(c);  
    }  
}  

　　（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)  
{   int size=result_num.size();  
    for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)  
    {  
        tempcheng.result_str.push_back(char(result_num[size-1-i]+'0'));  
    }  
}

　　主函数为：

int main()  
{  
       bigcheng tempcheng;  
    string a,b;  
    cin>>a>>b;  
    chartonum(a,b,tempcheng);  
    vector<int> resultnum(a.size()+b.size(),0);  
    multiply(tempcheng,resultnum);  
    numtochar(tempcheng,resultnum);  
    cout<<tempcheng.result_str<<endl;  
    system("pause");  
    return 0;  
}  

　　

     上面的思路还是很清晰的，但代码有些过长，考虑优化如下：

（1）上述思路是先转换反转，其实无需先将全部字符串转换为数字的，可即用即转，节约空间；

（2）无需等到逐位相乘都结束，才处理进位，可即乘即进；

（3）无需等到所有结果出来后，将结果转换为字符，可即乘即转。

     优化后时间复杂度不变，但节省了空间，代码更简洁。如下：

头文件和数据结构：

#include <iostream>  
#include <string>  
#include <vector>  
#include <stdlib.h>  
#include <assert.h>  
using namespace std;  
struct bigcheng2  
{  
    string a;  
    string b;  
    string result_str;  
};  
void reverse_data( string &data)；//字符串反转  
void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2);//字符串模拟相乘 

　　字符串反转：

void reverse_data( string &data)  
{  
    char temp = '0';  
    int start=0;  
    int end=data.size()-1;  
    assert( data.size()&& start <= end );  
    while ( start < end )  
    {  
        temp = data[start];  
        data[start++] = data[end];  
        data[end--] = temp;  
    }  
}  

　　两数相乘：

void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2)  
{  
    reverse_data(tempcheng2.a);//字符串反转  
    reverse_data(tempcheng2.b);  
    int c=0;  
    string temp(tempcheng2.a.size()+tempcheng2.b.size(),'0');//将temp全部初始化为0字符  
    for (unsigned int i=0;i<tempcheng2.a.size();i++)  
    {  
        unsigned int j;  
        for (j=0;j<tempcheng2.b.size();j++)  
        {  
            c+=temp[i+j]-'0'+(tempcheng2.a[i]-'0')*(tempcheng2.b[j]-'0');//注意temp[i+j]可能保存有上一次计算的结果  
            temp[i+j]=(c%10)+'0';//将结果转换为字符  
            c=c/10;  
        }  
        while(c)  
        {  
            temp[i+j++]+=c%10;//temp里已存字符  
            c=c/10;  
        }  
    }  
    for (int i=temp.size()-1;i>=0;i--)  
    {  
        if (temp[i]!='0')  
            break;  
        else  
            temp.pop_back();  
    }  
    reverse_data(temp);//结果?字Á?符¤?串ä?反¤¡ä转Áa  
    tempcheng2.result_str=temp;  
} 

　　主函数：

int main()  
{  
       bigcheng2 tempcheng2;  
       string a,b;  
       cin>>a>>b;  
       tempcheng2.a=a;  
       tempcheng2.b=b;  
       multiply2(tempcheng2);  
       cout<<tempcheng2.result_str<<endl;  
       system("pause");  
       return 0;  
} 

　　

3.2 移位进位法

       移位进位法也是普通的大数相乘算法，其时间复杂度也为O（N²）其基本思路参考博客5，简述如下：

　　按照乘法的计算过程来模拟计算：

　　　　   1 2

　　　　× 3 6

　　 ---------- ---- 其中，上标数字为进位数值。

　　　　　7¹ 2  --- 在这个计算过程中，2×6=12。本位保留2，进位为1.这里是一个简单的计算过程，如果在高位也需要进位的情况下，如何处理？

　　　　3 6

　   -----------

　　　　4¹3  2

        其代码优化如下：

#include <iostream>  
#include <string>  
#include <vector>  
#include <stdlib.h>  
#include <assert.h>  
using namespace std;  
void reverse_data( string &data);//字符串反转  
void compute_value( string lhs,string rhs,string &result );  
void reverse_data( string &data)  
{  
    char temp = '0';  
    int start=0;  
    int end=data.size()-1;  
    assert( data.size()&& start <= end );  
    while ( start < end )  
    {  
        temp = data[start];  
        data[start++] = data[end];  
        data[end--] = temp;  
    }  
}  
void compute_value( string lhs,string rhs,string &result )  
{  
    reverse_data(lhs);  
    reverse_data(rhs);  
    int i = 0, j = 0, res_i = 0;  
    int tmp_i = 0;  
    int carry = 0;  
  
    for ( i = 0; i!=lhs.size(); ++i, ++tmp_i )  
    {  
        res_i = tmp_i;  //在每次计算时，结果存储的位需要增加  
        for ( j = 0; j!= rhs.size(); ++j )  
        {  
            carry += ( result[res_i] - '0' )+(lhs[i] - '0') * (rhs[j] - '0');//此处注意，每次计算并不能保证以前计算结果的进位都消除， 并且以前的计算结果也需考虑。  
            result[res_i++] = ( carry % 10 + '0' );  
            carry /= 10;  
        }  
        while (carry)//乘数的一次计算完成，可能存在有的进位没有处理  
        {  
            result[res_i++] = (carry % 10 + '0');  
            carry /= 10;  
        }  
    }  
    for (int i=result.size()-1;i>=0;i--)  
    {  
        if (result[i]!='0')  
            break;  
        else  
            result.pop_back();  
    }  
        reverse_data(result);  
}  
int main()  
{  
    string a,b;  
    cin>>a>>b;  
    string result(a.size()+b.size(),'0');  
    compute_value(a,b,result);  
    cout<<result<<endl;  
    system("pause");  
    return 0;  
}  

　　3.3运行结果

        运行结果如图1、图2所示

     图1    

 

                                                                    图2