「多项式」烷基计数、烯烃计数、烷烃计数

烷基计数

题目链接：LOJ 6538 烷基计数 2×加强版。

对于 \(n=1\sim N\)，求 \(n\) 个碳原子的烷基的同分异构体数，不考虑空间异构。

\(1\le N\le 10^5\)。

题解

根据有机化学知识，我们要求的就是有多少个 \(n\) 个点的无标号有根树，满足根的度数 \(\le 3\)，其余点度数 \(\le 4\)。

令 \(F(x)\) 表示答案（其中 \(f_0=1\)，表示空），问题在于直接 \(F(x)=xF^3(x)\) 会把同构的树多次计数。考虑利用 burnside 引理，设根的三个子树分别为 \(T_1,T_2,T_3\)，有 \(3!=6\) 种置换群，因此可得：

\[F(x)=x\frac{F^3(x)+3F(x)F(x^2)+2F(x^3)}{6} \]

用牛顿迭代求解即可，时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

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烯烃计数

题目链接：洛谷 P6597 烯烃计数。

对于 \(n=1\sim N\)，求 \(n\) 个碳原子的烯烃的同分异构体数，不考虑空间异构。

\(1\le N\le 10^5\)。

题解

考虑碳碳双键的这条“关建边”，相当于这条边左右两边分别做“烷基计数”，然后再合并起来。

因此，合并的部分再用一次 burnside 引理。令 \(G(x)\) 表示答案，则：

\[G(x)=\frac{(F(x)-1)^2+F(x^2)-1}{2} \]

时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

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烷烃计数

题目链接：洛谷 P6598 烷烃计数，LOJ 6512 「雅礼集训 2018 Day 8」C。

对于 \(n=1\sim N\)，求 \(n\) 个碳原子的烷烃的同分异构体数，不考虑空间异构。

\(1\le N\le 10^5\)。

题解

根据有机化学知识，我们要求的就是有多少个 \(n\) 个点的无标号无根树，满足每个点度数 \(\le 4\)。

考虑拎起树的重心为根（在 \(n\) 为偶数时，可能无根树有两个重心，会算 \(2\) 次），用容斥的方法计算：总方案减去存在一个子树 \(\mathrm{size}> \frac{n}{2}\)。令前者为 \(G(x)\)，则用 burnside 引理可得：

\[G(x)=x\frac{F^4(x)+6F^2(x)F(x^2)+8F(x)F(x^3)+3F^2(x^2)+6F(x^4)}{24} \]

令答案为 \(H(x)\)，枚举这个“大子树”的 \(\mathrm{size}\)，则 \(h_n=g_n-\sum\limits_{i=\frac{n}{2}+1}^{n-1}f_if_{n-i}-[2|n]\binom{f_{n/2}}{2}\)。

容易卷积优化计算 \(H(x)\)，时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。