[gym102978C] Count Min Ratio

[gym102978C] Count Min Ratio

给定 (B) 个蓝色的球、 (R) 个红色的球以及一个绿色的球，同颜色的球不可区分。对于一种球的排列方式，记 (l_B,r_B,l_R,r_R) 表示球左/右变的蓝/红色球个数，则该排列的权值为 (max {x | l_B imes xle l_R,r_B imes xle r_R}) 。求所有排列的权值和。

(1le Ble 10^6,1le Rle 10^{18})

Solution

枚举绿球左边的红蓝球个数：

[egin{aligned}&sum_{b=0}^{B}sum_{r=0}^{R}inom{b+r}{b}inom{(B-b)+(R-r)}{B-b}min (frac{r}{b},frac{R-r}{B-b})\&=sum_{A=1}^{R/B}sum_{b=0}^{B}sum_{r=0}^{R}inom{b+r}{b}inom{(B-b)+(R-r)}{B-b}[bAle r][(B-b)Ale R-r]\&=sum_{A=1}^{R/B}sum_{b=0}^{B}sum_{r=0}^{R}inom{b+r}{b}inom{(B-b)+(R-r)}{B-b}[r-bAge 0][r-bAle R-AB]\&=sum_{A=1}^{R/B}sum_{P=r-bA=0}^{R-AB}sum_{b=0}^{B}inom{b+r}{b}inom{(B-b)+(R-r)}{B-b}end{aligned} ]

考虑右式的组合意义：一条路径的权值为从 ((0,0)) 走到 (B,R) ，途径满足 (y=Ax+P) 的点数。右式即为所有路径的权值和。

引理 1 ：定义 (f(W,A,P)) 表示从 ((0,0)) 到 ((W,AW+P)) 且不超过 (y=Ax+P) 的路径数，则 (f(W,A,P)=inom{(A+1)W+P}{W}-Ainom{(A+1)W+P}{W-1}) 。

证明：

考虑一条从 ((0,0)) 到 ((W,AW+P)) 的路径，枚举第一次穿过 (y=Ax+P) 的位置：

[inom{(A+1)W+P}{W}=f(W,A,P)+sum_{i=0}^{W-1}f(i,A,P)inom{A(W-i)+W-i-1}{W-i} ]

考虑一条从 ((0,0)) 到 ((W-1,AW+P+1)) 的路径，枚举第一次穿过 (y=Ax+P) 的位置：

[egin{aligned} inom{(A+1)W+P}{W-1}&=sum_{i=0}^{W-1}f(i,A,P)inom{A(W-i)+W-i-1}{W-i-1}\ &=frac{1}{A}sum_{i=0}^{W-1}f(i,A,P)inom{A(W-i)+W-i-1}{W-i} end{aligned} ]

我们惊讶的发现 (f(W,A,P)=inom{(A+1)W+P}{W}-Ainom{(A+1)W+P}{W-1}) 。

在这道题中，把右式要求的问题记为 (g(B,R,A,P)) ，注意到 (AB+Ple AB+R-ABle R) ，因此 (R) 高于这条线。

引理 2 ：(g(B,R,A,P)) 与 (P) 的取值无关，且 (g(B,R,A,P)=sumlimits_{i=0}^{B}inom{B+R+1}{i}A^{B-i}) 。

枚举路径上的点，可以得到 (g(B,R,A,P)=sumlimits_{i=0}^{B}inom{(A+1)i+P}{i}inom{R+B-(A+1)i-P}{B-i}) 。

于是：

[egin{aligned}&g(B,R,A,P)-Ag(B-1,R+1,A,P)\&=sum_{i=0}^{B}inom{(A+1)i+P}{i}left(inom{R+B-(A+1)i-P}{B-i}-Ainom{R+B-(A+1)i-P}{B-i-1} ight)\&=sum_{i=0}^{B}inom{(A+1)i+P}{i}f(B-i,A,R-AB-P)end{aligned} ]

考虑这个式子的组合意义，就是从 ((0,0)) 走到 ((i,Ai+P)) ，再沿 (y=Ax+P) 及以上的点走到 ((B,R)) 。

考虑双射，在该路径走到 ((i,Ai+P)) 时额外往上走一步，即走到 ((i,Ai+P+1)) 的位置。那么这条路径的含义就变成了枚举最后一次碰到 (y=Ax+P) 的位置，并且最终到达 ((B,R+1)) ，那么方案数显然就是 (inom{B+R+1}{B}) 。

因此，(g(B,R,A,P)-Ag(B-1,R+1,A,P)=inom{B+R+1}{B}) ，它与 (P) 的取值无关。

通过递推可以得到 (g(B,R,A,P)=sumlimits_{i=0}^{B}inom{B+R+1}{i}A^{B-i}) 。

回到原式，那么答案即为：

[egin{aligned}&sum_{A=1}^{R/B}(R-AB+1)g(B,R,A,*)\&=sum_{A=1}^{R/B}(R-AB+1)sum_{i=0}^{B}inom{B+R+1}{i}A^{B-i}\&=sum_{i=0}^{B}inom{B+R+1}{i}left((R+1)sum_{A=1}^{R/B}A^{B-i}-Bsum_{A=1}^{R/B}A^{B-i+1} ight)end{aligned} ]

对于 (kin [1,m]) ，求 (sumlimits_{i=0}^{n-1}i^{k}) 可以用伯努利数 (mathcal O(mlog m)) 快速计算。

时间复杂度 (mathcal O(mlog m)) 。