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Description

给定 (3) 个同心圆，半径分别为 (r1,r2,r3) ，三个点分别随机分布在三个圆上，求这个三角形期望下的面积。

Solution

首先可以固定 (A) 点，枚举 (B) 点。
对于一个固定的 (AB) ，我们可以求出线段长度 (L) 以及它与圆心的距离 (H) 和夹角 (alpha) ，显然有 (alpha < frac{pi}{2}) 。
接着通过积分求出 (C) 点运动时这个三角形的期望高，我们将其分成三部分。
第一部分：

[sum=int_{0}^{pi}(H+r3 imes sin(x))dx=pi H + r3 imes int_{0}^{pi}sin(x)dx=pi H+2 imes r3 ]

第二部分：

[sum=2int_{0}^{alpha}(H-r3 imes sin(x))dx=2(Halpha - r3int_{0}^{alpha}sin(x)dx)=2(alpha H +r3 imes cos(alpha)-r3) ]

第三部分：

[sum=int_{alpha}^{pi-alpha}(r3 imes sin(x)-H)dx=r3int_{alpha}^{pi-alpha}sin(x)dx-(pi-2alpha)H=2r3 imes cos(alpha)-(pi-2alpha)H ]

合并在一起，得：

[sum=pi H+2 imes r3+2(alpha H +r3 imes cos(alpha)-r3)+2r3 imes cos(alpha)-(pi-2alpha)H=4r3 imes cos(alpha)+4alpha imes H ]

所以，期望高度为 (h=frac{4r3 imes cos(alpha)+4alpha imes H}{2pi}) ，故期望三角形面积为 (frac{h imes L}{2})
我们可以在圆周上均匀选取 (1000) 个 (B) ，这样做答案近似度极高，如只保留一位小数精度足矣。
时间复杂度：(O(1000T))

Code

提交记录

// Author: wlzhouzhuan
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rint register int
#define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
#define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
#define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
#define pb push_back
#define pii pair <int, int>
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define debug(x) cerr << #x << " = " << x << '
';
#define pll pair <ll, ll>

inline int read() {
  int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  return neg * x;
}
inline void print(int x) {
  if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  if (x >= 10) print(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

const double eps = 1e-8;
const double PI = acos(-1.0);

double Sin[1005], Cos[1005];
double r1, r2, r3;

double sqr(double x) { return x * x; }
void solve() {
  cin >> r1 >> r2 >> r3;
  if (r1 > r2) swap(r1, r2);
  if (r1 > r2) swap(r1, r3);
  if (r2 > r3) swap(r2, r3);
  double ans = 0.0;
  for (int i = 1; i <= 1000; i++) {
    // B 坐标 
    double X = r2 * Cos[i], Y = r2 * Sin[i];
    double L = sqrt(sqr(X - r1) + sqr(Y));
    double H = Y / L * r1;
    double alpha = asin(H / r3);
    double h = (4.0 * r3 * cos(alpha) + 4.0 * alpha * H) / (2.0 * PI);
    ans += h * L / 2.0;
  }   
  ans /= 1000.0;
  cout << fixed << setprecision(1) << ans << '
';
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
  int T;
  cin >> T;
  for (int i = 1; i <= 1000; i++) {
    Sin[i] = sin(2.0 * PI / 1000.0 * i);
    Cos[i] = cos(2.0 * PI / 1000.0 * i);
  }
  while (T--) solve();
  return 0; 
}