[算法学习] 换根dp

换根dp

一般来说，我们做题的树都是默认 (1) 为根的。但是有些题目需要计算以每个节点为根时的内容。
朴素的暴力：以每个点 (u) 作为 (root) 暴力dfs下去，复杂度(O(n^2))；
正确的做法：换根dp，复杂度(O(n))。

执行步骤

1. 第一次扫描，先默认 (root=1) ，跑一遍 (dfs)；
2. 第二次扫描，从 (root=1) 开始，每次从 (u) 到 (v) 节点时，计算根从 (u) 转移到 (v) 时的贡献变化。
   很显然，换根dp是在两个(dfs)中完成的，下面我们介绍一下如何运用它。

例题1 Accumulation Degree

题目链接：South Central China 2008 Accumulation Degree

Description

给你一颗有 (n) 个节点的树，每一条边连接 (u_i) 和 (v_i)，流量为 (fl_i) ，你需要找出一个点作为 (root)，并最大化从该点出发到所有叶子节点的流量最大值。
多组数据。（PS：题意读不懂的可以结合题目中的图理解，类似网络流的流法）
数据范围 (1 le nle 200000)，并且 (sum n le 200000)
时间限制 (1000 ms)

Solution

我们先默认这棵树以 (1) 为根，跑一次 (dfs)。
定义 (flow[i]) 表示以 (i) 为根的子树中流量最大值。
那么，(u) 节点从儿子 (v) 得到的流量为：
1.若(v)为叶子节点，那么(flow[u] += flow[v])（可以直接流过来）；
2.若(v)为非叶子节点，那么(flow[u] += min(flow[v], fl(u, v)))（(u)和(v)相连的边有流量限制）。
这样，我们得到了以 (1) 为根时的答案，记为 (f[1])，它的值等于 (flow[1])。
考虑如何换根。
从 (u) 为根转移到儿子 (v) 为根， (f[v]) 包括两部分：一部分是从 (v) 流向自己的子树，一部分是从 (v) 往父节点走。
那么贡献的变化是第二部分造成的，原本的贡献是 (flow[u] - min(flow[v], fl(u, v)))，现在加上 (u) 到 (v) 这条边的流量限制，所以新的贡献是 (min(fl(u, v), flow[u] - min(flow[v], fl(u, v))))。
注意如果 (u) 的度为 (1)，则需要特殊处理。
再来一个 (dfs) 转移即可。
复杂度 (O(n))，可以通过本题。

Code

例题2 STA-Station

题目链接：POI2008 STA-Station

Description

给你一颗有 (n) 个节点的树，你需要找出一个点作为 (root) ，并最大化 (sum_{i=1}^{n} dep_i)。
其中 (dep_i) 表示以 (root) 为根时，(i)节点的深度。
数据范围 (1le nle 10^6)
时间限制 (1000 ms)

Solution

我们先默认这颗树以 (1) 为根，跑一次 (dfs)，记录(dep[i]) 和(size[i])。
接下来，定义 (f_i) 表示以 (i) 为根时的 (dep[i]) 之和。
显然，(f[1] = sum_{i=1}^{n} dep[i])。
当我们从 (u) 转移到儿子 (v) 时，以 (v) 为根的子树内的所有节点 (dep) 值都减一，以外的所有节点 (dep) 值都加一。
于是有： (f[v] = f[u] - size[v] + (n - size[v]) = f[u] + n - 2 * size[v])。
答案即为 (max_{i=1}^{n} f[i]) 的 (i)。
复杂度 (O(n))，卡卡常可以通过本题。

Code

这个题目卡(vector)，能把用(STL)的完美卡飞。所以我改成前向星了呜呜呜。

// Author: wlzhouzhuan
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
  
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rint register int
#define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
#define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
#define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
#define pb push_back
#define pii pair <int, int>
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define Each(i) for (rint i = head[u]; i; i = edge[i].nxt)
inline int read() {
  int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  return neg * x;
}
inline void print(int x) {
  if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  if (x >= 10) print(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}


const int N = 1000005;
struct Edge {
  int to, nxt;
} edge[N << 1];
int head[N], tot;
void add(int u, int v) {
  edge[++tot] = {v, head[u]};
  head[u] = tot;
}
int n;

ll f[N];
int sz[N], dep[N];
void dfs1(int u, int fa) {
  sz[u] = 1;
  dep[u] = dep[fa] + 1;
  Each(i) {
    int v = edge[i].to;
    if (v == fa) continue;
    dfs1(v, u);
    sz[u] += sz[v];
  }
}
void dfs2(int u, int fa) {
  Each(i) {
    int v = edge[i].to;
    if (v == fa) continue;
    f[v] = f[u] + n - 2ll * sz[v];
    dfs2(v, u);
  }
}
int main() {
  ios :: sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    add(u, v), add(v, u);
  } 
  dfs1(1, 0);
  for (int i = 1; i <= n; i++) f[1] += dep[i];
  dfs2(1, 0);
  cout << max_element(f + 1, f + n + 1) - f << '
'; 
  return 0;
}