[BZOJ4824][Cqoi2017]老C的键盘 树形dp+组合数

4824: [Cqoi2017]老C的键盘

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Description

老 C 是个程序员。    

作为一个优秀的程序员,老 C 拥有一个别具一格的键盘,据说这样可以大幅提升写程序的速度,还能让写出来的程序

在某种神奇力量的驱使之下跑得非常快。小 Q 也是一个程序员。有一天他悄悄潜入了老 C 的家中,想要看看这个

键盘究竟有何妙处。他发现,这个键盘共有n个按键,这n个按键虽然整齐的排成一列,但是每个键的高度却互不相同

。聪明的小 Q 马上将每个键的高度用 1 ~ n 的整数表示了出来,得到一个 1 ~ n 的排列 h1, h2,..., hn 。为了

回去之后可以仿造一个新键盘(新键盘每个键的高度也是一个 1 ~ n 的排列),又不要和老 C 的键盘完全一样,小 Q

 决定记录下若干对按键的高度关系。作为一个程序员,小 Q 当然不会随便选几对就记下来,而是选了非常有规律的

一些按键对:对于 i =2,3, ... , n,小 Q 都记录下了一个字符<或者>,表示 h_[i/2] < h_i 或者h _[i/2] > h_i 

。于是,小 Q 得到了一个长度为n ? 1的字符串,开开心心的回家了。现在,小 Q 想知道满足他所记录的高度关系的

键盘有多少个。虽然小 Q 不希望自己的键盘和老 C 的完全相同,但是完全相同也算一个满足要求的键盘。答案可

能很大,你只需要告诉小 Q 答案 mod 1,000,000,007 之后的结果即可。

 

Input

输入共 1 行,包含一个正整数 n 和一个长度为 n ? 1 的只包含<和>的字符串,分别表示键

盘上按键的数量,和小 Q 记录的信息,整数和字符串之间有一个空格间隔。

 

Output

输出共 1 行,包含一个整数,表示答案 mod 1,000,000,007后的结果。    

 

Sample Input

5 <>><

Sample Output

3
共5个按键,第1个按键比第2个按键矮,第1个按键比第3个按键高,第2个按键比第4个
按键高,第2个按键比第5个按键矮。
这5个按键的高度排列可以是 2,4,1,3,5 , 3,4,1,2,5 , 3,4,2,1,5 。

HINT

 

Source

将原数列建成一颗二叉树。

对于一个节点i,f[i][j]表示节点在子树中排名为j的方案数。

转移的时候枚举每个子树中有多少个在它前面即可。

根据复杂度分析后可得时间复杂度为O(n^2)

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define maxn 1001
using namespace std;
inline ll read() {
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
struct data {int to,nxt,tp;}e[maxn*2];
int head[maxn],cnt;
inline void add(int u,int v,int tp) {e[cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];e[cnt].tp=tp;head[u]=cnt++;}
ll n,ans,jc[maxn],inv[maxn];
ll f[maxn][maxn],g[maxn][maxn],sz[maxn],t[maxn][maxn];
char s[maxn];
inline ll C(int x,int y){return jc[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;}
void dp(int x) {
    sz[x]=1;f[x][1]=1;
    if((x<<1)<=n) add(x,x<<1,s[x<<1]=='>'?1:0);
    if(((x<<1)|1)<=n) add(x,(x<<1)|1,s[(x<<1)|1]=='>'?1:0);
    for(int i=head[x];i>=0;i=e[i].nxt) {
        int to=e[i].to;dp(to);
        for(int j=sz[x];j>=1;j--) {
            for(int k=sz[to];k>=0;k--) {
                if(e[i].tp==1) t[x][j+k]=(t[x][j+k]+f[to][k]*C(j+k-1,k)%mod*C(sz[x]+sz[to]-j-k,sz[to]-k)%mod*f[x][j])%mod;
                else t[x][j+k]=(t[x][j+k]+g[to][k+1]*C(j+k-1,k)%mod*C(sz[x]+sz[to]-j-k,sz[to]-k)%mod*f[x][j])%mod;
            }
        }
        sz[x]+=sz[to];
        for(int j=0;j<=sz[x];j++) f[x][j]=t[x][j],t[x][j]=0;
    }
    for(int i=sz[x];i>=1;i--) g[x][i]=(g[x][i+1]+f[x][i])%mod;
    for(int i=1;i<=sz[x];i++) f[x][i]=(f[x][i]+f[x][i-1])%mod;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();
    scanf("%s",s+2);
    inv[0]=inv[1]=jc[0]=jc[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod,inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod;
    dp(1);
    printf("%lld
",f[1][sz[1]]);
    return 0;
}