暑假集训的时候就应该来写这篇博客的,当时听的有些糊涂,不过该来的还是得来。。。
中国剩余定理介绍
在《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?”这个问题称为“孙子问题”,该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。
在《孙子歌诀》中给出了解决这个问题的解法:三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知。很是朗朗上口,但这是什么意思呢?
具体解法分三步:
找出三个数:
1.从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15,从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21,最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
2.用15乘以2(2为最终结果除以7的余数),用21乘以3(3为最终结果除以5的余数),同理,用70乘以2(2为最终结果除以3的余数),然后把三个乘积相加(15*2+21*3+70*2)得到和233。
3.用233除以3,5,7三个数的最小公倍数105,得到余数23,即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。
就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的,有什么基本的数学依据吗?
中国剩余定理分析
我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题,从零开始,试图揣测古人是如何推导出这个解法的。
首先,我们假设n1是满足除以3余2的一个数,比如2,5,8等等,也就是满足3*k+2(k>=0)的一个任意数。同样,我们假设n2是满足除以5余3的一个数,n3是满足除以7余2的一个数。
有了前面的假设,我们先从n1这个角度出发,已知n1满足除以3余2,能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2?进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2?
这就牵涉到一个最基本数学定理,如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数),换句话说,如果一个除法运算的余数为c,那么被除数与k倍的除数相加(或相减)的和(差)再与除数相除,余数不变。这个是很好证明的。
以此定理为依据,如果n2是3的倍数,n1+n2就依然满足除以3余2。同理,如果n3也是3的倍数,那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的,再从n2,n3的角度出发,我们可推导出以下三点:
- 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2,n2和n3必须是3的倍数。
- 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3,n1和n3必须是5的倍数。
- 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2,n1和n2必须是7的倍数。
因此,为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解,需满足:
- n1除以3余2,且是5和7的公倍数。
- n2除以5余3,且是3和7的公倍数。
- n3除以7余2,且是3和5的公倍数。
所以,孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1,从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2,从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3,再将三个数相加得到解。在求n1,n2,n3时又用了一个小技巧,以n1为例,并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数,而是先找一个除以3余1的数,再乘以2。
这里又有一个数学公式,如果a%b=c,那么(a*k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc(k>0),也就是说,如果一个除法的余数为c,那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。
最后,我们还要清楚一点,n1+n2+n3只是问题的一个解,并不是最小的解。如何得到最小解?我们只需要从中最大限度的减掉3,5,7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以(n1+n2+n3)%105就是最终的最小解。
经过分析发现,中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧,就是以下两个基本数学定理的灵活运用:
- 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
- 如果 a%b=c,那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。
数学分析
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1 void exgcd(int a1,int b,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 return ; 8 } 9 exgcd(b,a1%b,x,y); 10 int t=x; 11 x=y; 12 y=t-(a1/b)*y; 13 } 14 int CRT(int a[],int m[],int n) 15 { 16 int M=1,ans=0,t,x,y; 17 for(int i=0; i<n; i++) 18 { 19 M*=m[i];///M为除数乘积 20 } 21 for(int i=0; i<n; i++) 22 { 23 t=M/m[i];///除了mi以外的n-1个整数乘积 24 exgcd(t,m[i],x,y);///求逆元,由扩展欧几里得转换成t*ti+m[i]*y=1来求ti 25 ans=(ans+a[i]*x*t)%M; 26 } 27 return (ans+M)%M; 28 }
一个正整数K,给出K Mod 一些质数的结果,求符合条件的最小的K。例如,K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。
Input
第1行:1个数N表示后面输入的质数及模的数量。(2 <= N <= 10)
第2 - N + 1行,每行2个数P和M,中间用空格分隔,P是质数,M是K % P的结果。(2 <= P <= 100, 0 <= K < P)Output输出符合条件的最小的K。数据中所有K均小于10^9。Sample Input
3 2 1 3 2 5 3
Sample Output
23
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define ll long long int 5 using namespace std; 6 void exgcd(ll a1,ll b,ll &x,ll &y) 7 { 8 ll t; 9 if(b==0) 10 { 11 x=1; 12 y=0; 13 return ; 14 } 15 exgcd(b,a1%b,x,y); 16 t=x; 17 x=y; 18 y=t-(a1/b)*y; 19 } 20 ll CRT(ll a[],ll m[],ll n) 21 { 22 ll M=1,ans=0,t,x,y,i; 23 for(i=0; i<n; i++) 24 { 25 M*=m[i]; 26 } 27 for(i=0; i<n; i++) 28 { 29 t=M/m[i]; 30 exgcd(t,m[i],x,y); 31 ans=(ans+a[i]*x*t)%M; 32 } 33 return (ans+M)%M; 34 } 35 36 int main() 37 { 38 ll n,i,ans; 39 ll a[10],m[10]; 40 scanf("%lld",&n); 41 for(i=0;i<n;i++) 42 { 43 scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]); 44 } 45 ans=CRT(a,m,n); 46 printf("%lld ",ans); 47 return 0; 48 }