算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）

之前讲过一个相似的问题流水作业调度问题，那一道题最开始用动态规划，推到最后得到了一个Johnson法则，变成了一个排序问题，有兴趣的可以看一下https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/11667092.html

本篇博客主要参考自https://blog.csdn.net/qq_40685275/article/details/80403976

一、问题描述

给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为t_ji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

 例：设n=3，考虑以下实例：

 看到这里可能会对这些完成时间和是怎么计算出来的会有疑问，这里我拿123和312的方案来说明一下。

 对于调度方案（1,2,3）

作业1在机器1上完成的时间是2，在机器2上完成的时间是3

作业2在机器1上完成的时间是5，在机器2上完成的时间是6

作业3在机器1上完成的时间是7，在机器2上完成的时间是10

所以，作业调度的完成时间和= 3 + 6 + 10

这里我们可以思考一下作业i在机器2上完成的时间应该怎么去求？

作业i在机器1上完成的时间是连续的，所以是直接累加就可以。但对于机器2就会产生两种情况，这两种情况其实就是上图的两种情况，对于（1,2,3）的调度方案，在求作业2在机器2上完成的时间时，由于作业2在机器1上还没有完成，这就需要先等待机器1处理完；而对于（3,1,2）的调度方案，在求作业2在机器2上完成的时间时，作业2在机器1早已完成，无需等待，直接在作业1被机器1处理之后就能接着被处理。

综上，我们可以得到如下表达式

if (F2[i-1] > F1[i])
F2[i] = F2[i-1] + t[2][i]
else
F2[i] = F1[i] + t[2][i]

二、算法设计

类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，M输入作业时间，bestf记录当前最小完成时间和，数组bestx记录相应的当前最佳作业调度。

数组x[i]，bestx[i]，二维数组m[j][i];
数组x记录当前调度；
bestx记录当前最优调度；
初始时，x[i]=i ;      bestx[i]=∞;     (i=0,1,......,n)
二维数组m记录各作业分别在两台机器上的处理时间；
m[j][i]表示在第i台机器上作业j的处理时间

变量f1,f2,cf,bestf；
f1记录作业在第一台机器上的完成时间；
f2记录作业在第一台机器上的完成时间；
cf记录当前在第二台机器上的完成时间和；
bestf记录当前最优调度的完成时间和；

在递归函数Backtrack中，
当i>n时，算法搜索至叶子结点，得到一个新的作业调度方案。此时算法适时更新当前最优值和相应的当前最佳调度。
当i<=n时，当前扩展结点在i层，以深度优先方式，递归的对相应子树进行搜索，对不满足上界约束的结点，则剪去相应的子树。

这里注意一下该程序的输入，要现将机器1对应所有作业的处理时间输入，再输入机器2的，对应上面的例子的数据就是 232113

#include <stdio.h>
int x[100],bestx[100],m[100][100];//m[j][i]表示在第i台机器上作业j的处理时间
//数组bestx记录相应的当前最佳作业调度。
int f1=0,f2,cf=0,bestf=10000,n;  //bestf记录当前最小完成时间和
void swap(int *x,int t,int j)
{
    int temp = x[t];
    x[t] = x[j];
    x[j] = temp;
}

void Backtrack(int t)
{
    int tempf,j,i;
    if(t>n) //到达叶子结点，搜索到最底部
    {
        for( i=1; i<=n; i++)
        {
            bestx[i]=x[i];
        }
        bestf=cf;

    }
    else    //非叶子结点
    {
        for(j=t; j<=n; j++)
        {
            f1+=m[x[j]][1];  //记录作业在第一台机器上的完成处理时间
            tempf=f2;//保存上一个作业在机器2的完成处理时间
            f2=(f1>f2?f1:f2)+m[x[j]][2];//保存当前作业在机器2的完成时间
            cf+=f2;               //cf记录当前在机器2上的完成时间和
            if(cf<bestf)
            {
                swap(x,t,j);  //交换两个作业的位置
                Backtrack(t+1);
                swap(x,t,j);
            }
            f1-=m[x[j]][1];
            cf-=f2;
            f2=tempf;
        }
    }
}


int main()
{
    int i,j;

    printf("请输入作业数量
");
    scanf("%d",&n);
    printf("请输入在各机器上的处理时间
");
    for(i=1; i<=2; i++)
    {
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            scanf("%d",&m[j][i]);
        }
    }
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        x[i]=i;  //记录当前调度
    }
    Backtrack(1);

    printf("调度作业顺序
");
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        printf("%d	",bestx[i]);
    }
    printf("
");
    printf("处理时间:
");
    printf("%d
",bestf);
    return 0;
}

 注意swap函数，交换两个作业的位置相当于重新赋值了，所以该程序没有对x[i]的赋值函数

三、算法的效率