Miller-Rabin是一种高效的随机算法，用来检测一个数$p$是否是素数，最坏时间复杂度为$log^3 p$，正确率约为$1-4^{-k}$，$k$是检验次数。
一、来源
Miller-Rabin是由Miller和Rabin两个人根据费马小定理的逆定理，也就是费马测试优化过来的。费马小定理就是$$a^{p-1}equiv 1(mod p)$$
我们知道当$p$为素数时费马小定理才成立，但是如果一个数满足费马小定理，它一定是素数吗？可以发现，当这个数肥肠小时，它是满足的，但是有一天人们发现341这个数满足以2为底的费马小定理，满足$2^{340}equiv 1(mod 341)$，但是它是合数$(341=11 imes 31)$。
这时，Miller和Rabin就改进了这个叫费马测试的东西……
我不会证谁来证一下
二、二次探测定理
有一个叫二次探测定理的东西，可以有效地提升费马小定理的正确性。如果对于素数$p$，有正整数$x<p$且$x^2equiv 1(mod p)$；可以推得$x^2-1equiv 0(mod p)Rightarrow p|x^2-1Rightarrow p|(x-1)(x+1)$，而$x<p$，所以如果$p|(x-1)$的话，$x-1=0,x=1$，或$p|x+1$，则$x=p-1$。因此，就有了Miller-Rabin测试。
三、Miller-Rabin素性测试
有了二次探测定理，我们试着进行341的以2为底的费马测试。$2^{340}equiv 1(mod 341)$，如果341是素数，那么也满足二次探测定理，也就是$2^{170}equiv 1(mod 341)$。而170还是个偶数，可以继续进行二次探测定理。这时它就凉了，因为$2^{85}equiv 32(mod 341)$，而它没有通过二次探测定理，所以341不是个素数。
同时，因为费马小定理没有要求底为什么，所以只以2为底肯定会放过一些漏网之鱼，我们应该多选一些数为底，这样才能使判断的正确性提高。不过这个底最好选择素数（不知道为什么，可能与答案的模数大都为质数一样吧...），来保证正确性。同时，在学习这个算法时，网上会有一写神奇的结论，比如选3个特定的底$2,7,61$，就可以通过小于$4,759,123,141$的所有素数的测试，而选$latex 2,3$为底，可以通过$1,373,653$以内的测试。因此很多人都喜欢随机几个数作为底，而题目给出的质数也不一样，这就是靠碰运气了。不过上面分析过，它的错误率只有约$4^{-k}$，所以出题人在不知道你的底数的情况下，正确率是特别高的。
四、总结
Miller-Rabin是肥肠高效的，写起来也比较方便。而题目中远没有变态到让你线筛出$10^7$个数来，有很多包括空间在内的资源都浪费了，尤其是在卡空间的题中。这时候Milller-Rabin就是一个不错的选择。
五、Code(luogu 线性筛模板)
因为这里的范围是$10^7$，所以用上面的特定底数$2,7,61$是可以通过的
#include<cstdio>
#include<cstring>
long long qpow(long long x,long long y,long long p)//快速幂及模数
{
long long ans=1,m=x;
while(y)
{
if(y&1)
ans*=m;
ans%=p;
m*=m;
m%=p;
y>>=1;
}
return ans;
}
bool check(long long x,long long y,long long p)//二次探测
{
long long tmp=qpow(x,y,p);
if(tmp!=1&&tmp!=p-1)
return false;
if(tmp==p-1)
return true;
if(tmp==1&&(y&1))
return true;
return check(x,y>>1,p);
}
bool millerrabin(long long x)
{
if(x<=1)
return false;
if(x==2||x==7||x==61||(check(2,x-1,x)&&check(7,x-1,x)&&check(61,x-1,x)))//注意判断到自己会挂掉，我们已经知道他们是素数了就不管了qwq
return true;
return false;
}
int main()
{
int n,m;
long long u;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%lld",&u);
if(millerrabin(u))
puts("Yes");
else
puts("No");
}
return 0;
}