欧几里得，扩展欧几里得相关

欧几里得（gcd）

欧几里得算法通过辗转相除法求得x，y的最小公约数

 
/* 迭代法（递推法）：欧几里得算法，计算最大公约数 */
int gcd(int n, int m)
{
    while(m>0)//余数大于零
    {
        int c = n % m;
        n = m;
        m = c;
    }
    return n;//输出最后一个整除的数
}

扩展欧几里得

扩展欧几里得算法是欧几里得算法(又叫辗转相除法)的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y(其中一个很可能是负数)。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数–这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if (b==0) { x=1,y=0; return a; }
long long d=exgcd(b,a%b,x,y);
long long tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
return d;
}

通过扩展欧几里得求逆元

(A*X)%MOD=1；那么肯定存在k使得

A*X=k*MOD+1；

移项可得：A*X-k*MOD=1;

所以，当A和MOD互素时，就可以写成

A*X-k*MOD=gcd(A,MOD)；

如果把A看做a，MOD看做b，X看做x，-k看做y的话，则上式可化为：

ax+by=gcd(a,b)；

这样就可以用扩展欧几里得算法求出来x了，也就是我们要找的逆元。

int mod_reverse(int a,int n)//ax=1(mod n) 求a的逆元x 
{
    int d,x,y;
    d=ex_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1)
        return (x%n+n)%n;
    else
        return -1;
}

求解ax=c(mod b)（也就是ax+by=c（同上逆元的变化方式））的x的最小整数解

int cal(int a,int b,int c)
{
    int x,y;
    int gcd=(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0)
        return -1;//代表无解 
    //  ax0+by0=gcd(a,b)                                方程一 
    //同时乘以c/gcd(a,b)得   
    // (a*c/gcd(a,b))*x0+(b*c/gcd(a,b))*y0=c;
    // 令 x1=c/gcd(a,b)*x0  y1=c/gcd(a,b)*y0;
    // 则可得 ax1+by1=c                                 方程二 
    // 这时得出方程的一个解   x1=x0*c/gcd(a,b)     y1=y0*c/gcd(a,b)  
    x*=c/gcd; //将 方程一的一个特解转化成方程2的一个特解 
    //套用上文的公式可得对方程二
    // b'=b/gcd(a,b);
    b/=gcd;   
    if(b<0)//处理小于0的特殊情况 
        b=-b;
    //对特解x  +- kb'  找到最小整数解
    //设x=kb'+r
    //那么我们想要求的整数解就是r
    //直接取模运算即可 
    int ans=x%b; 
    //把负数的r转化成正数的 
    if(ans<=0)
        ans+=b;
    return ans;
}