对数复杂度算法

　　二分搜索（binary search）：给定一个整数X和整数A₁，A₁，...，A_N-1，后者已经预先排序并在内存中，求下标 i 使得 A_i = X，如果X不在数据中，则返回-1。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int NOT_FOUND = -1;
template <typename Comparable>
int binarySearch(const vector<Comparable> &a, const Comparable &x) {
    int low = 0, high = a.size() - 1;
    while(low <= high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        if(a[mid] < x) {
            low = mid + 1;
        } else if(a[mid] > x) {
            high = mid - 1;
        } else {
            return mid;
        }
    }
    return NOT_FOUND;
}    //时间复杂度为O(logN)

int main() {
    vector<int> a;
    for(int i = 0; i < 20; ++i) {
        a.push_back(i * 2);
    }
    int mid;
    mid = binarySearch(a, 16);
    cout << mid << endl;
    return 0;
}

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欧几里得算法：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

long gcd(long m, long n) {
    //欧几里得算法
    //m大于等于n
    while(n != 0) {
        long rem = m % n;
        m = n;
        n = rem;
    }
    return m;
}    //时间复杂度为O(logN)

int main() {
    cout << gcd(50, 15) << endl;
    cout << gcd(1989, 1590) << endl;
    return 0;
}

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幂运算：如果N是偶数，X^N = X^N/2 * X^N/2，如果N是奇数，则X^N = X^(N-1)/2 * X^(N-1)/2 * X。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

long pow(long x, int n) {
    if(n == 0)
        return 1;
    if(n == 1) 
        return x;
    if(n%2 == 0)
        return pow(x * x, n/2);
    else 
        return pow(x * x, n/2) * x;
}

int main() {
    cout << pow(2, 10) << endl;
    cout << pow(2, 7) << endl;
    return 0;
}

第11行若替换为 return pow(pow(x * x, 2), n/2); 或 return pow(pow(x, n/2), 2); ，当n是2时，程序会产生一个无限循环。

当第11行替换为 return pow(x, n/2) * pow(x, n/2); 时，会影响程序的效率。