前言
很久之前就应该学的，但是因为太鸽了咕到了现在，而且估计以后也会忘，所以写一篇符合自己理解方式的学习笔记，估计对萌新的学习没有什么帮助，所以这边先放几个学习链接。
关于本文中一些符号的定义
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(lpf(i))表示(i)的最小质因子。
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在不进行特殊说明的情况下，(p)视为质数。
Min_25 筛是干什么的？
Min_25 筛是用来求一个积性函数前缀和的东西。也就是求解这样的式子：(sum_{i=1}^{n} f(i))（其中(f)是积性函数）
可以使用 Min_25 筛的前提是什么？
要求积性函数(f)在(f(p^k))的位置上能够快速地求出来，换一句话说，就是(f(p^k))是一个次数比较低的多项式。
怎么进行 Min_25 筛？
假设我们需要求(sum_{i=1}^n f(i))。
那么，我们将(i)按照其是否为质数分类，原式则可以变为：(sum_{1leq p leq n} f(p) +sum_{i=1}^{n} [i\, is\, not\, a\, prime]f(i))
前面的先放一边，因为可以直接算出点值，考虑后面的合数部分怎么化。
因为(f)是积性函数，所以枚举质数，接下来可以把式子化成这样（定义(lpf(i))为(i)的最小质因子）：
(sum_{1leq p leq n} f(p) + sum_{p^e leq n} f(p^e) (sum_{i=1 & lpf(i)>p}^{left lfloor frac{n}{p^e}
ight
floor} f(i)))
但是，我们注意到如果是合数的话，那么它的最小质因子一定小于(sqrt{n})。
所以式子就变成了这样：
(sum_{1leq p leq n} f(p) + sum_{p^e leq n& 1leq p leq sqrt{n} } f(p^e) (sum_{i=1 & lpf(i)>p}^{left lfloor frac{n}{p^e}
ight
floor} f(i)))
接下来我们要分两个步骤处理。
步骤 1
为了解决这个问题，我们设计一个函数(g(n,j))表示在(n)以内质数或者最小质因子大于第(j)个质数的数字的(h)函数值的和，当然，这个(h)函数并不是原来的(f)函数，只是一个在(p^k)处的取值和(f)相同或者相似的函数，因为我们的前提中(f(p^k))是一个关于(p^k)的低阶多项式，所以(h)一般会设为(h(i)=i^k)这种形式（注：可以设多个(h)，最后加起来）。
下面用(p_j)表示第(j)个质数。
那么，用数学式子来表示的话，就是(g(n,j)=sum_{i=1}^{n} [i\, is\, a\, prime\, or\, lpf(i) > p_j] i^k)
我们考虑用 DP 的方法来解决这个问题。
考虑从(g(n,j-1))转移到(g(n,j))。
很明显，需要减去一些数，因为有一些数已经不满足条件了，考虑这些不满足条件的数是哪些。
很明显，所有不满足条件的数就是最小质因子是(p_j)的合数。
那么，这些数我们提取除一个(p_j)出来，我们就可以写出这么一个式子来表示这些数对原来答案的贡献：(p_j^kcdot (g(frac{n}{p_j},j-1)- g(p_{j-1},j-1)))，后面减去(g(p_{j-1},j-1))是因为我们要把原来的质数给去掉。
接下来我们就可以列出转移的式子了。
(g(n,j)=g(n,j-1)-p_j^kcdot (g(frac{n}{p_j},j-1)- g(p_{j-1},j-1)))
这个式子看起来计算是(O(n*|P|))（(|P|)表示(n)以内的质数个数），但是我们发现(left lfloor frac{n}{x} ight floor)最多只有(O(sqrt{n}))钟取值，所以可以离散化，那么就可以快速地计算出(g(n,j))了，空间上的优化直接用滚动数组就可以了。
步骤 2
但是我们并不能通过(g)函数来找出我们所需要的答案。
所以我们仿照上面的思路，构造出一个(S(n,k))函数表示从(1)到(n)最小质因子大于(p_k)的(f)函数值的和，那么，如果我们能够快速地求出(S(n,0))，这一道题就解决了。
同样是分质数和合数来考虑，合数也依然是枚举最小质因子。
(S(n,k)=g(n,|P|)-g(p_{|P|},|P|)+sum_{p_j^eleq n & j>k}) (f(p_{j}^{e}) (S(left lfloor frac{n}{p_{j}^{e}} ight floor ,k)+[e eq 1]))
好的，这样(S)就可以递归算了，时间复杂度分析我不会，据说是(O(frac{n^{frac{3}{4}}}{log n}))。
下面附上洛谷模板的代码：
#include <cmath>
#include <cstdio>
template<typename Elem>
void read(Elem &a){
a=0;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
a=(a<<1)+(a<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
}
template<typename Elem>
void write(Elem a){
if(a<10){
putchar(a+'0');
return;
}
write(a/10);
putchar(a%10+'0');
}
const int Maxn=200000;
const int Mod=1000000007;
typedef long long ll;
const int Inv_2=(Mod+1)>>1;
const int Inv_3=(Mod+1)/3;
ll n;
int sqr;
bool np[Maxn+5];
int p[Maxn+5],p_len;
int sp_1[Maxn+5],sp_2[Maxn+5];
int g_1[Maxn+5],g_2[Maxn+5];
int pos_1[Maxn+5],pos_2[Maxn+5];
ll w[Maxn+5];
int tot;
void init(){
np[0]=np[1]=1;
for(int i=2;i<=Maxn;i++){
if(!np[i]){
p[++p_len]=i;
sp_1[p_len]=(sp_1[p_len-1]+i)%Mod;
sp_2[p_len]=(sp_2[p_len-1]+1ll*i*i)%Mod;
}
for(int j=1,x;j<=p_len&&(x=i*p[j])<=Maxn;j++){
np[x]=1;
if(i%p[j]==0){
break;
}
}
}
}
int find_sum(ll x,int y){
if(p[y]>=x){
return 0;
}
int k=x<=sqr?pos_1[x]:pos_2[n/x];
int ans=((g_2[k]-g_1[k]+Mod)%Mod-(sp_2[y]-sp_1[y]+Mod)%Mod+Mod)%Mod;
for(int i=y+1;i<=p_len&&1ll*p[i]*p[i]<=x;i++){
ll p_e=p[i];
for(int j=1;p_e<=x;j++,p_e*=p[i]){
int p_e_m=p_e%Mod;
ans=(ans+1ll*p_e_m*(p_e_m-1)%Mod*(find_sum(x/p_e,i)+(j!=1)))%Mod;
}
}
return ans;
}
int main(){
init();
read(n);
sqr=(int)sqrt(n+0.0);
for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
j=n/(n/i);
w[++tot]=n/i;
g_1[tot]=w[tot]%Mod;
g_2[tot]=1ll*g_1[tot]*(g_1[tot]+1)/2%Mod*(2*g_1[tot]+1)%Mod*Inv_3%Mod-1;
if(g_2[tot]<0){
g_2[tot]+=Mod;
}
g_1[tot]=1ll*g_1[tot]*(g_1[tot]+1)/2%Mod-1;
if(g_1[tot]<0){
g_1[tot]+=Mod;
}
if(n/i<=sqr){
pos_1[n/i]=tot;
}
else{
pos_2[n/(n/i)]=tot;
}
}
for(int i=1;i<=p_len;i++){
for(int j=1;j<=tot&&1ll*p[i]*p[i]<=w[j];j++){
int k=w[j]/p[i]<=sqr?pos_1[w[j]/p[i]]:pos_2[n/(w[j]/p[i])];
g_1[j]=(g_1[j]-1ll*p[i]*(g_1[k]-sp_1[i-1]+Mod)%Mod+Mod)%Mod;
g_2[j]=(g_2[j]-1ll*p[i]*p[i]%Mod*(g_2[k]-sp_2[i-1]+Mod)%Mod+Mod)%Mod;
}
}
write((find_sum(n,0)+1)%Mod);
putchar('
');
return 0;
}
