TOPSIS法 (优劣解距离法)
来源：清风老师数学建模ppt，全手打
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TOPSIS法：
- 又名为：逼近理想排序法或优劣解距离法。
- 是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
- 基本过程为：先将原始数据矩阵统一指标类型(一般正向化处理)得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。
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常见的四种指标：
指标名称 指标特点 例子 极大型(效益型)指标 越大(多)越好 成绩、GDP增速、利润 极小型(成本型)指标 越小(少)越好 费用、坏品率、污染程度 中间型指标 越接近某个值越好 水质量评估时的PH值 区间型指标 落在某个区间最好 体温、水中植物性营养物量
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统一指标类型：
- 将所有的指标转化为极大型成为指标正向化(最常用的)。
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标准化处理：
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为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。
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标准化处理的公式：假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已经正向化了)构成的正向化矩阵如下：
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[X=left[egin{matrix}x_{11}&x_{12}&cdots&x_{1m}\x_{21}&x_{22}&cdots&x_{2m}\vdots&vdots&ddots&vdots\x_{n1}&x_{n2}&cdots&x_{nm}end{matrix} ight] ]
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那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
[z_{ij}=frac{x_{ij}}{sqrt{sum_{i=1}^n x^2_{ij}}} ]
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构建计算公式：
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[frac{x-min}{max-min}=frac{x-min}{(max-x)+(x-min)}=frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离} ]
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[Z=left[egin{matrix}z_{11}&z_{12}&cdots&z_{1m}\z_{21}&z_{22}&cdots&z_{2m}\vdots&vdots&ddots&vdots\z_{n1}&z_{n2}&cdots&z_{nm}end{matrix} ight] ]
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定义最大值Z+=((Z^+_1,Z^+_2,cdots,Z^+_m)) = (max{(z_{11},z_{21},cdots,z_{n1})}，max{(z_{12},z_{22},cdots,z_{n2})},(cdots),max{(z_{1m},z_{2m},cdots,z_{nm})})
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定义最小值定义最大值Z—=((Z^-_1,Z^-_2,cdots,Z^-_m)) = (min{(z_{11},z_{21},cdots,z_{n1})}，min{(z_{12},z_{22},cdots,z_{n2})},(cdots),min{(z_{1m},z_{2m},cdots,z_{nm})})
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定义第i(i=1,2,3,(cdots),n)个评价对象与最大值的距离：
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[D^+_i=sqrt{sum_{j=1}^m (Z^+_j-z_{ij})^2} ]
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定义第i(i=1,2,3,(cdots),n)个评价对象与最小值的距离：
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[D^-_i=sqrt{sum_{j=1}^m (Z^-_j-z_{ij})^2} ]
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那么，我们可以计算得出第i(i=1,2,(cdots),n)个评价对象未归一化的得分：Si=(frac{D^-_i}{D^+_i+D^-_i})很明显。0(leq)Si$leq$1,且Si越大 (D^+_i) 越小，即越接近最大值。
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解题思路：
第一步：将原始矩阵正向化，将所有的指标类型统一转化为极大型指标。
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极小型指标转化为极大型指标：max-x，或者是(frac{1}{x})
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中间型指标转化为极大型指标：
- 中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好。
- {xi}是一组中间型指标序列，且最佳的数值为xbest，那么正向化公式如下：M=max{|xi—xbest|}，( ilde{x})=1— (frac{|x~i~— x~best~|}{M}) 。
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区间型指标转化为极大型指标：
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[f(x)=left{ egin{aligned} 1-frac{a-x_i}{M} &,x_i<a\ 1&,aleq x_ileq b\ 1-frac{x_i-b}{M}&,x_i>b end{aligned} ight. ]
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第二步：
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正向化矩阵标准化。
X = [89,1; 60,3; 74,2; 99,0] [n , m] = size(X) X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1)
第三步：
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构建计算公式计算得分并归一化
= [89,1;60,3;74,2;99,0] [n , m] = size(X); Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5,n,1); D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D+向量 D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D-向量- 得分归一化：( ilde{S_i}=frac{S_i}{sum_{i=1}^n S_i})，这样的话，(sum_{i=i}^n ilde{S_i}=1) 。
- 得分归一化不影响排序。
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当加上权重的时候，需要(D^+_i=sqrt{sum_{j=1}^m w_i(Z^+_j-z_{ij})^2})，其他的类似。wi在这里是权重。