线性代数学习笔记——终章·第六章

线性代数学习笔记——终章·第六章

完结撒花——折磨了这么久，线性代数终于结束了。接下来开始认真搞数据结构与算法以及git

二次项定义

• 所有项都是二次的为二次项。
• 二次项的矩阵表达式的步骤：
  • 平方项系数做成主对角线元素。
  • 交叉项的系数除以2放置在对称的相应位置，例如-2x₁x₂ 分别在第一列第二行和第二列第一行放置-1。
• 二次项的矩阵一定对称。
• 标准型：只有平方项。
• 线性替换：f(x) = x^TAx，令x = CY，则f(x) = Y^T(C^TAC)Y。
  • A的秩为二次型的秩。
• 合同：
  • A、B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC = B，则A、B合同。
  • 反身性：A和自身合同。
  • 对称性：A合同于B，则B合同于A。
  • 传递性：A合同于B，B合同于C，则A合同于C。
  • 若A、B合同，则有以下性质：
    • r(A) = r(B)
    • 同时对称，A^T = A (Longleftrightarrow) B^T = B，且A^T与B^T合同。
    • 若A、B均可逆，则A^-1 与 B^-1合同。

二次型化标准型

• 三种方法：

  • 配方法
  • 初等变换法
  • 正交替换法

• 配方法：

  • 先对x₁相关的进行配方，但是切记x₁配方的要求是在后续不再出现x₁。

  • 之后的x₂、x₃等等参照上一条。

  • 利用y线性替换x，是的对y的方程满足标准型。

  • 由于线性替换的定义是x=Cy,因此，需要转换为x关于y的表达式。

  • 对于只有交叉项的解题技巧：

    • 例题：2x₁x₂ - 4x₁x₃ + 10x₂x₃
    • 设x₁=y₁ - y₂ ，x₂ = y₁ + y₂ ，x₃= y₃，带入原式。
    • 得到：2y₁¹ - 2y₂² + 6y₁y₃ + 14y₂y₃
    • 假设有4个变量及其以上，依旧是：x₁=y₁ - y₂ ，x₂ = y₁ + y₂，但是x₃=y₃ ，x₄ = y₄ ……

• 初等变换法：
  • 对A、E做同样的初等列变换。
  • 只对A做相应的初等行变换。
  • A化为对角阵时，E化为C。
  • 每做完一套列行变换，上矩阵会变成对称的。

• 正交替换(一般不用，计算量很搞人心态)：

  • 二次型A必然为实对称矩阵。
  • 求特征值。
  • 求特征向量，正交化，单位化。
  • 特征向量做成列，构成C，特征值按对应顺序做成对角阵。
  
  
  

• 规范形：

  • 在标准型的基础上继续变换(Lambda) ，使得对角线变为1,-1,0的形式。
  • 惯性定理：任意一个二次型可以通过非退化的线性替换为规范形。
    • 其中为1和-1的总数为原来矩阵的秩（个数由原矩阵决定）
    • -1无法化为1。
    • 正惯性指数：正项（1）的个数。
    • 负惯性指数：负项（-1）的个数。
    • 符号差 = 正惯性指数 - 负惯性指数。
  • 任意矩阵A与规范形合同。
  • 合同则意味着有相同的秩序、正惯性指数、负惯性指数。