线性代数学习笔记——第二章(上）

线性代数学习笔记——第二章(上)

老样子，不放图，本打算一章一篇笔记，但是发现这一章的笔记是真的多，可能是我太菜的缘故，光这篇笔记就花了4个小时，还有：在Typora中^^是上角标，但是博客园有的LaTeX内联属性不支持，导致一些很奇怪的地方。

矩阵概念

• 零矩阵：元素都是0的矩阵（有形状），零矩阵不一定相等。
• 负矩阵：所有元素取相反数，例如：A的负矩阵为-A。
• 实矩阵：所有的元素都是实数的矩阵。
• 复矩阵：所有的元素都是复数的矩阵。
• 行矩阵：只有一行元素的矩阵。
• 列矩阵：只有一列元素的矩阵。
• 单位阵：主对角线上为1，其余元素全为0的方阵，记做：E或I。
• 同型矩阵：行数和列数对应相等。
• 行矩阵知识方阵的一个属性。
• 矩阵相等：同型矩阵且值对应相等。
• 不是方阵没有主对角线和次对角线。

矩阵运算

• 只有同型矩阵才能相加减：对应元素相加减。

  • 运算规律（均为同型矩阵）：
    • A+B=B+A；
    • (A+B)+C = A+(B+C);
    • A+O = A;
    • A+(-A) = O;
    • A+B = C —> A = C-B;
      
      

• 矩阵乘法：

  • 用k乘以矩阵，相当于k乘以矩阵的所有元素。

  • 矩阵相乘的规则：

    • 前提：左矩阵列数=右矩阵行数。
    • 结果矩阵：行数=左矩阵行数；列数=右矩阵列数。
    • 宋氏七字口诀：中间相等，取两头。
    • 用第一个矩阵的第一行乘第二个矩阵的第一列，对应的元素相乘再相加，放置在第一行第一列。
    • 用第一个矩阵的第一行乘以第二个矩阵的第二列，对应的元素相乘再相加，放置在第一行第二列。
    • 同理……

  • 运算法则：

  • k(AB) = (kA)B+ A(kB);

    • (A+B)C = AC + BC;
    • (AB)C= A(BC);
    • AE=A;EA=A;这里的单位矩阵E的形状可能不同。

  • 不满足的规律：

    • 多数情况下：AB ( eq) BA;
    • AB=0 ( rightarrow) A=0 或者 B=0；
    • AB=AC，A ( eq) 0 ( rightarrow) B=C;

• 一个矩阵可以交换，必要条件就是该矩阵和其所有交换矩阵必须都是同阶方阵。

• 矩阵运算的一些公式：

  • A⁰=E

  • (A^k1)^k2=A^k1k2

  • A^k1*A^k2=A^(k1+k2)

  • (AB)^k

  • 一般情况下：(AB)^k( eq)A^kB^k

    • eg: (AB)²=ABAB；A²B²=AABB;

  • 但是：（A(pm)E)²=A² (pm) 2AE+E²

• 矩阵转置：A^T：
  • (A^T)^T=A
  • (A+B)^T=A^T+B^T
  • (kA)^T=kA^T
  • (AB)^T=B^TA^T (这里注意顺序须要颠倒)

特殊矩阵

• 数量矩阵：主对角线元素全部相等，其余元素为零。

• 对角线矩阵：主对角线上有值，其余为零。对角型矩阵可以以diag(……)的方式来写。

• 三角矩阵：上三角矩阵、下三角矩阵。

• 对称矩阵：主对角线为轴，上下元素对应相等的矩阵。

  • 所有的对称矩阵基本会用到A^T=A的公式。

  • A、B对称，A、B可交换

    • eg：(AB)^T=AB

    • 充分性：(AB)^T= B^TA^T=BA=AB

    • 必要性：A和B可以交换，所以AB=BA，所以(AB)^T=AB，所以AB是对称矩阵。

      • eg:（AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T，所以AA^T是对称矩阵。

• 反对称矩阵：主对角线元素全部为零，上下元素对应成相反数的矩阵。

  • eg：a_ij =-a_ji，对于主对角线上的元素，移项，(Rightarrow) a_ii =0;
  • A^T= - A.

• 对于（反）对称矩阵，两个同阶（反）对称矩阵的和、差和数乘仍然是（反）对称矩阵，但是两个（反）对称矩阵的乘积一般不再是（反）对称矩阵。

逆矩阵

• 不要把矩阵放到分母的位置

• 方阵的行列式：

  • 方阵A的行列式为：|A|。

  • 行列式为一个数，矩阵为一个数表，因此，方阵的行列式仅仅为方阵的一个属性。

  • 性质：

    • |A^T| = |A|

    • |kA| = kⁿ|A|

    • |AB| = |A||B|，AB为同阶

    • 例题：A为5阶方阵，|A| = 3,求|-A|、||||A|A|A|A|。

      1）、|-A|=(-1)⁵|A|=-3。

      2）、||||A|A|A|A|=|||3A|A|A| = ||3⁶A|A| = |(3⁶)⁵|A|A| = |(3³¹)A| = 3¹⁵⁵|A|=3¹⁵⁶。

      
      

• 伴随矩阵:

  • 只有方阵才有伴随矩阵A^*，同时任何方阵都有伴随矩阵，如果只有一个元素的矩阵，那么他的伴随矩阵为E或者[1]。
  • 伴随矩阵是所有元素的代数余子式按列放构成的矩阵。
  • 口诀：按行求，按列放。

• 逆矩阵的定义：

  • 设A是一个n阶方阵，如果存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，那么B就叫A的逆矩阵，记作：A^-1=B。(切记不可写成(frac{1}{A}))。
  • 未必所有方阵都可逆，比如零矩阵。
  • 可逆矩阵的方阵的逆矩阵唯一。
  • AA^-1=A^-1A=E。
  
  

• 方阵可逆的条件：

  • 若方阵A的行列式∣A∣≠0，该方阵叫做非奇异（非退化、满秩）矩阵；反之，若方阵A的行列式∣A∣=0，该方阵叫做奇异（退化、降秩）矩阵。

  • 矩阵A可逆的充分必要条件为：∣A∣≠0。

  • A^-1=(frac{1}{|A|})A^*（前提是上一步成立）。

  • 若A、B都为n阶方阵，∣A∣≠0且AB=E或者BA=E，则A可逆，并且A^-1=B。

• 求逆矩阵常用初等变换法，很少使用伴随矩阵法。

• 矩阵方程：

  • 注意提取公因子的方向；
  • 矩阵不能加减一个数，需要补上单位矩阵E；
  • 永远不要把矩阵放在分母上；
  • 一定先判断行列式不等于零，矩阵才可逆，再求逆矩阵；
  • 求逆矩阵时，待定法（假设法）过于复杂，不建议使用；
  
  

• 逆矩阵的性质;

  • 若A可逆，则A^-1可逆，且(A^-1)^-1=A;

  • A、B都可逆，则AB可逆，(AB)^-1=B^-1A^-1;

  • A可逆，因此：A^T也可逆，并且（A^-1)^T=(A^T)^-1;若k ( eq) 0，(kA)^-1=(frac{1}{k})A^-1;

  • |A^-1|=|A|^-1;

  • A可逆时，A^*也可逆，并且(A^*)^-1=(frac{1}{|A|})A;

• 伴随矩阵的常用公式：

  • A^*A=AA^*=|A|E。
  • |A^*|=|A|^n-1。
  • 因为A⁻¹=(frac{1}{∣A∣})A^∗，所以∣A∣A⁻¹=A^∗，即A^∗=∣A∣A⁻¹；
  • (A^*)^*=|A^*|(A^*)^-1=|A|^n-1(frac{1}{|A|})A=|A|^n-2A;
  • ((A^*)^*)^*=|A^*|^n-2A^*=(|A|^n-1)^n-2|A|A^-1=|A|^n*n-3n+3A^-1;