• 【题解】UVA


    【题解】UVA - 11255 (Burside)

    OI生涯第一道Burside?

    上次伦的火箭课件已经进行了扫盲,具体来说,定理内容是这样的:

    从我浅薄的知识来看,Polya只是Burside的计数版本

    Burside

    设置换群(G),以及一个可以被这个群作用的集合(S),那么(G_S)的轨道数量(本质不同的(S)中的元素)是:

    [sum_{gin G} {| ext{stab }S_g|over |G|} ]

    证明被我吃了

    • 旋转同构

      • 考虑顺时针转(kin[1,n])步,对于旋转(k)步,总共有(gcd (k,n))种不同的"循环"需要填,这些循环必须满足循环内所有元素相同(这样才能保持旋转时不会造成不同)。每个循环的长度是(nover gcd(k,n)),直接算即可。
    • 翻转同构(len=2)

      • 加旋转的翻转,意义是有(n)种对称轴,同样地计算一下就行了。

        • 奇数

          枚举翻转的那个颜色,再进行翻转。

        • 偶数

          • 对称轴经过两个点

            • 枚举两个点的颜色即可
          • 对称轴经过一个空隙

          • 直接算就好了

    关键是恰当地对置换进行分类

    //@winlere
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    
    using namespace std;  typedef long long ll;
    const int maxn=40+5;
    ll c[maxn][maxn];
    void pre(const int&n){
    	for(int t=0;t<=n;++t)
    		for(int i=c[t][0]=1;i<=t;++i)
    			c[t][i]=c[t-1][i-1]+c[t-1][i];
    }
    int a[3],b[3],n;
    
    ll Polya(int k){
    	int s=0;
    	for(int t=0;t<3;++t)
    		if(b[t]%k||b[t]<0) return 0;
    		else b[t]/=k,s+=b[t];
    	ll ret=1;
    	for(int t=0;t<3;++t)
    		ret*=c[s][b[t]],s-=b[t];
    	return ret;
    }
    
    int main(){
    	pre(41);
    	int T;
    	cin>>T;
    	size_t siz=sizeof a;
    	while(T--){
    		n=0;
    		for(int t=0;t<3;++t) cin>>a[t],n+=a[t];
    		ll ans=0;
    		for(int t=1;t<=n;++t)
    			memcpy(b,a,siz),ans+=Polya(n/__gcd(t,n));
    		if(n&1)
    			for(int t=0;t<3;++t)
    				memcpy(b,a,siz),--b[t],ans+=Polya(2)*n;
    		else{
    			for(int t=0;t<3;++t)
    				for(int i=0;i<3;++i)
    					memcpy(b,a,siz),--b[t],--b[i],ans+=Polya(2)*n/2;
    			memcpy(b,a,siz),ans+=Polya(2)*n/2;
    		}
    		cout<<ans/(n<<1)<<endl;
    	}
    	return 0;
    }
    
    
    
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/winlere/p/12235639.html
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