【背诵手记】Matrix Tree定理和一些推广
结论
对于一个无向图(G=(V,E))，暂时钦定他是简单图，定义以下矩阵：
- (入)度数矩阵(D),其中(D_{ii}=deg_i)。其他=0
- 邻接矩阵(A),其中(A_{ij}=[exist e=(i,j)])。其他=0 (*******wait!*******)
- 关联矩阵(B)，其中(B_{ij}=[exist e_i=(a,b)](-1)^{[a>b]})。其他=0(后面会用到)
- 拉普拉斯矩阵(L=D-A)
那么，这个图的生成树个数是(L)矩阵的任意一个n-1阶主子式的绝对值。
证明
关于拉普拉斯矩阵的性质
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拉普拉斯矩阵所有的代数余子式值相同
证明:
一个显然的事实是拉普拉斯矩阵任何一行/列的元素和(=0)
我将证明一行内代数余子式(R_{ij}=R_{ik})
先只看对应位置的余子式，可以发现他们的不同在于一个有第(j)列没有第(k)列，另一个相反。
根据之前发现的简单的事实(L_{ik}+L_{ij}+ ext{others}=0) 。我们对于(C'_{ik})，其他列直接乘(-1)加到第(k)列对应列，此时第(k)列对应列就变成了 (C_{ij})的第一列。
然后考虑把这两个余子式特殊的那一列(j,k)，列交换(用冒泡排序的方法，因为我们不能破坏其他列的相对关系)到第一列，每次交换是要乘上一个-1的，所以最终交换完成后，有一个类似((-1)^{?})的系数。此时除了符号，两个行列式相等了。
两个余子式都要乘上((-1)^{?})，而这里的系数正好就可以对应上代数余子式需要乘上的((-1)^{i+j})。
行内检验无异，列就自然成立，稍微推广QED，由上可知
自闭证毕 -
拉普拉斯矩阵的行列式的值(=0)
根据行列式按_展开法则证明显然
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记(R=R_{11})，来证明它一些性质
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(|R|=0)时当且仅当这个图不连通
证明:
通过交换行列将联通块排在一起，此时的行列式的值是原来的((-1)^?)倍，此时整个矩阵变成了这样:
[L=egin{pmatrix} L_1 &O&...\ O&L_2&...\ ...&...&... end{pmatrix} ]根据拉普拉斯矩阵性质(|L_i|=0)以及R的定义可知(|R|=0)。
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(||R||=1)当且仅当(G)是一棵树
证明:
我暂时不会循环证明:
显然一棵树的生成树只有一颗
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重要补充:
显然，(B^TB)相当于(B)中选两列(e_i,e_j)列向量然后一个转置后再乘起来，可以验证(L_{ij}=e_i^Te_j)。
重要补充:
柯西-比内公式(CB)
对于矩阵(A[n][m])和(B[m][n])有:
看起来组合意义很强...
这一步好像是理解Matrix Tree本质/性质/拓展性 的关键一步，可惜我看不懂....
回到正题= =
我们把(B)的第一列剔除，显然(R=B'^TB') ，套公式有
激动人心的时刻到了，根据矩阵转置的性质可以发现
好诱人的组合意义啊。不过我们做一点准备工作，搞个记号(N={1...n-1})。
-
(det(B'_{S,N})^2 in {0,1})
可以发现的是，根据(B'^T_{S,N}B'_{N,S}=R)，当且仅当选出的边不连通时，可以知道(det (B'^T_{S,N})=det(B'_{N,S})=0)。
现在要证明选出的边联通时，(||B'_{N,S}||=1)。此时由于(|S|=n-1)那么一定是一颗树。
口胡警告
观察(B'_{N,S})这个矩阵的形式，
应该是由初等基本变换变换出来的，然后我们又有(B'^T_{S,N}B'_{N,S}=R,||R||=1)，基本初等变换得到的矩阵相乘仍然可以看做基本初等变换，由于基本初等变化不会影响行列式的值，就有那么(||B'_{N,S}||=1) 。
现在回过头来考虑CB公式的算法，它相当于在(O({mchoose n-1}))时间内枚举每一个边集，然后判断是否联通，若联通就(+1)的贡献。显然最终累和的值就是生成树的个数。
啦啦啦终于证完了
下面的推广可能完全是假的。
推广
根据行列式的(O(n!))的式子，可以知道(|R|)的值是关于(|R_{ij}|)的基本初等函数(加减乘除)。根据上面的推导，我们发现(|R|)是一堆(1,-1)的乘积的和。上面的推导中，不存在除法，虽然存在乘法但是是简单的取相反数运算。(注意，有平方运算!)我们如果将邻接矩阵的01换成边的边权(w)，那么(|R|)就等于所有生成树的边权积(注意，边权(in R^+))的和。
因为行列式本质上是只是一个多元函数(F({})=sum prod (-1)^{?}...)，我们甚至令w=一个生成函数甚至边权!!1...(毒瘤警告)
实际上我们计的数是，在(m)个三元组((i,j,w))中选择(n-1)个出来，并且保证((i,j))构成一棵树。我们求的是所有满足树条件的每棵树的(prod w) 的和。
口胡警告
更抽象地讲，任何和域(<R,+, imes>)有着相同的代数结构的域(<C,and,*>)都满足这个定理，可以得到(|R|=and *w)。
注意到不论我们带什么进去都是好实现的，因为求行列式有(O(n^3))的算法，而且...
这就触及到我的知识盲区了，理性证明等我大学看能不能学会，但是现在可以拍脑袋地讲，假如你有可以对应到加(减)乘(除)的运算法则的元素，那么你带进去没错。这是很对的。
所以:
- 假如让边权(w)等于这条边重边数量(度数也要相应更新)，那么(|R|)就等于考虑重边生成树个数。
- 有向图的生成树的话，(D)就要钦定是入/出度矩阵，(A)就要钦定是(A_{i,j/j,i}=cnt[e<i,j>])，得到的(|R_{ii}|)是以(i)为根的内向树/外向树个数。正确性如果通过上面的证明理解的话貌似是完全错误的，因为就拉普拉斯矩阵的第一个性质就不满足...可能有别的构造出的组合意义?
至此，熟练背诵的Matrix Tree定理就出来了....