【题解】幼儿园篮球题(NTT+范德蒙德卷积+斯特林数)
题目就是要我们求一个式子(听说叫做超几何分布？好牛逼的名字啊)
[sum_{i=1}^{S}dfrac 1 {N choose n_i}sum_{j=0}^{k_i}{m_i choose j}{n_i-m_ichoose k_i- j}j^L
]
实际上$S $很小，所以本质上就是求
[sum_{j=0}^{k_i}{m_i choose j}{n_i-m_ichoose k_i- j}j^L
]
为了方便我写成这个形式
[sum_{j=0}^{k}{m choose j}{n-mchoose k-j}j^L
]
斯特林数划开次方
[sum_{j=0}^{k}{m choose j}{n-mchoose k-j}sum_{i=0}^{min{j,L}}{L race i}{j choose i}i!
]
交换和式
[sum_{i=0}^{min {k,L}}{L race i}i!sum_{j=0}^{min{k,L}}{j choose i}{mchoose j}{n-mchoose k-j}
]
备胎模型提一下
[sum_{i=0}^{min {k,L}}{L race i}i!{m choose i}sum_{j=0}^{min{k,L}}{m-ichoose j-i} {n-mchoose k-j}
]
根据黑白模型，提出来(这个还有一个名字叫做范德蒙德卷积)
[sum_{i=0}^{min {k,L}}{L race i}i!{m choose i}{n-ichoose k-i}
]
而(L le 2 imes 10^5)
回顾一下求斯特林数
[{Lrace i}=dfrac 1{i!}sum_{j=0}^{i-1}(-1)^{j}{ichoose j}(i-j)^{L}
]
NTT预处理就好了
仍然不想写代码...什么时候想了就贴一下
upd：补锅
//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std; typedef long long ll;
inline int qr(){
register int ret=0,f=0;
register char c=getchar();
while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
return f?-ret:ret;
}
namespace poly{
const int maxn=1<<19|1;
int r[maxn];
inline void getr(const int&len){
static int sav=0;
if(len==sav) return;
int cnt=0;
for(register int t=1;t<len;t<<=1)++cnt;
for(register int t=0;t<len;++t) r[t]=r[t>>1]>>1|(t&1)<<cnt>>1;
}
const int mod=998244353;
const int g=3;
inline int ksm(const int&base,const int&p){
register int ret=1;
for(register int t=p,b=base%mod;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)
if(t&1) ret=1ll*b*ret%mod;
return ret;
}
const int gi=ksm(3,mod-2);
inline void NTT(int*a,const int&len,const int&tag){
int*a0,*a1,s=g;
if(tag!=1) s=gi;
getr(len);
for(register int t=0;t<len;++t) if(t<r[t])swap(a[t],a[r[t]]);
for(register int t=1,wn;t<len;t<<=1){
wn=ksm(s,(mod-1)/(t<<1));
for(register int i=0;i<len;i+=t<<1){
a1=(a0=a+i)+t;
for(register int k=0,w=1,m;k<t;++k,++a1,++a0,w=1ll*w*wn%mod){
m=1ll**a1*w%mod;
*a1=(*a0+mod-m)%mod;
*a0=(*a0+m)%mod;
}
}
}
if(tag!=1) for(register int t=0,w=ksm(len,mod-2);t<len;++t) a[t]=1ll*a[t]*w%mod;
}
}
using namespace poly;
const int maxn2=2e7+3;
int s[maxn],t1[maxn],t2[maxn];
int jc[maxn2],inv[maxn2];
int n,m,S,L;
inline void pre(const int&n){
jc[0]=inv[0]=1;
for(register int t=1;t<=n;++t) jc[t]=1ll*jc[t-1]*t%mod;
inv[n]=ksm(jc[n],mod-2);
for(register int t=n-1;t;--t) inv[t]=1ll*inv[t+1]*(t+1)%mod;
for(register int t=0;t<=L;++t) {
t1[t]=inv[t];
if(t&1) t1[t]=mod-t1[t];
t2[t]=1ll*inv[t]*ksm(t,L)%mod;
}
int k=1;
while(k<=L)k<<=1;
NTT(t1,k<<1,1);
NTT(t2,k<<1,1);
for(register int t=0,ed=k<<1;t<ed;++t)s[t]=1ll*t1[t]*t2[t]%mod;
NTT(s,k<<1,-1);
for(register int t=L+1;t<k<<1;++t) s[t]=0;
}
inline int c(const int&n,const int&m){
if(n<m)return 0;
return 1ll*jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
inline int getans(const int&nn,const int&mm,const int&kk){
int ret=0;
for(register int t=0,ed=min(min(L,kk),min(nn,mm));t<=ed;++t)
ret=(ret+1ll*s[t]*inv[mm-t]%mod*jc[nn-t]%mod*inv[kk-t]%mod)%mod;
return 1ll*ret*inv[nn]%mod*jc[mm]%mod*jc[kk]%mod;
}
int main(){
n=qr();m=qr();S=qr();L=qr();
pre(max(max(L,m),n));
for(register int t=1,t1,t2,t3;t<=S;++t){
t1=qr();t2=qr();t3=qr();
printf("%d
",getans(t1,t2,t3));
}
return 0;
}