【题解】CF997C Sky Full of Stars
为什么我的容斥原理入门题是这道题？？？？？？？？？
$Part-1$正向考虑
直接考虑不合法合法的方案吧
所以我们设行有$i$,列有$j$有是不同的颜色
所以分这几种情况讨论：
[
i
ot=0,j
ot=0
\
i=j=0
\
ij=0,i+j
ot=0
]
考虑到$i=j=0$对答案没有贡献，所以我们考虑第一式和第三式吧
第三式简单一点，情况就是这样的：
方案数还是比较显然的(我说显然是因为是可以通过我努力思考得到，不是我可以秒杀...)
还要试推算一个容斥系数，最终就是
[
x_1= 2 imesSigma_{i=1}^n (-1)^i C_n^i imes 3^i imes 3^{n(n-i)}
]
第二式，情况就是这样的：
这种情况下，确定了一种就确定了所有颜色，枚举$i,j$吧
[
x=Sigma_{i=1}^nSigma_{j=1}^n (-1)^{j+i-1}3C_n^iC_n^j3^{(n-i)(n-j)}
]
然而我们需要$O(nlogn)$所以我们考虑对式子变形一下，把所有(部分)$i$提出来
[
x=Sigma_iC_n^i(-1)^{i-1}Sigma_{j=1}^n C_n^j3^{(n-i)(n-j)}(-1)^j
]
把$j$的拿出来二项式定理化一下，有些技巧性。
[
Sigma_{j=1}^n C_n^j3^{(n-i)(n-j)}(-1)^j=-3^{n(n-i)}+Sigma_{j=0}^n C_n^j3^{(n-i)(n-j)}(-1)^j
\
=-3^{n(n-i)}+Sigma_{j=0}^n C_n^j(3^{n-i})^{n-j}(-1)^j
\
=-3^{n(n-i)}+(3^{n-i}-1)^n
]
所以
[
x_2= Sigma C_n^i(-1)^{i-1}(-3^{n(n-i)}+(3^{n-i}-1)^n)
]
于是答案就是
[
x_1+x_2= 2 imesSigma_{i=1}^n (-1)^i C_n^i imes 3^i imes 3^{n(n-i)}+Sigma_{i=1}^n C_n^i(-1)^{i-1}(-3^{n(n-i)}+(3^{n-i}-1)^n)
]
复杂度$O(nlogn)$
呼呼呼 好难QAQ
$part-2$反向考虑
直接蒯了，有没有发现形式很相似？数学真奇妙hhh
给$2$号代码吧
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
#define RP(t,a,b) for(register int t=(a),edd=(b);t<=edd;++t)
#define DRP(t,a,b) for(register int t=(a),edd=(b);t>=edd;--t)
#define ERP(t,a) for(register int t=head[a];t;t=e[t].nx)
#define int long long
const int mod=998244353;
inline int ksm(int base,int p){register int ret=1;base%=mod;
for(register int t=p;t;t>>=1,base*=base,base%=mod)if(t&1) ret*=base,ret%=mod; return ret%mod;
}
const int maxn=1e6+5;
int fac[maxn];
int inv[maxn];
int ans;
int n;
inline int C(int n,int m){return (fac[n]*inv[m]%mod)*inv[n-m]%mod;}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("A.in","r",stdin);
freopen("A.out","w",stdout);
#endif
cin>>n;
inv[0]=fac[0]=1;
RP(t,1,n) fac[t]=fac[t-1]*t%mod,inv[t]=inv[t-1]*ksm(t,mod-2LL)%mod;
ans=ksm(3,n*n)%mod;
ans=(ans-ksm(ksm(3,n)-3LL+mod,n)+mod)%mod;
RP(t,1,n){
register int q=C(n,t)*(3LL*ksm(ksm(3,n-t)-1LL,n)%mod+(ksm(3,n*(n-t))*((ksm(3,t)-3LL+mod)%mod))%mod)%mod;
if(t&1) ans=(ans+q)%mod;
else ans=((ans-q)%mod+mod)%mod;
}
ans=(ans%mod+mod)%mod;
cout<<ans<<endl;
}