• 算法导论9.36算法导论9.36 .


    题目:

    对一个含有n个元素的集合来说,所谓k分位数(the kth quantile),就是能把已排序的集合分成k个大小相等的集合的k-1个顺序统计量。给出一个能列出某一集合的k分位数的O(nlgk)时间的算法

    思考:

    令每个子集合的元素个数为t = n / k,A[j]是数组A中下标为j的元素,A(j)是数组是第j大的元素

    则所求的k分位数是指A(t),A(2t),A(3t),……,A((k-1)t)

    按顺序依次求这k-1个数的运行时(k-1)*n

    要使运行时间为O(nlgk),改进方法是不要依次寻找这k-1个数,而是借用二分的方法来找。

    先找第k/2个分位数,再以这个分位数为主元把数组分为两段,分别对这两段来找分位数,这个时候找的范围变小了,效率也就提高了

    代码:

      1 #include <iostream>
      2 using namespace std;
      3 
      4 int t, length_A;
      5 void Print(int *A, int len)
      6 {
      7     int i;
      8     for(i = 1; i <= len; i++)
      9         cout<<A[i]<<' ';
     10     cout<<endl;
     11 }
     12 /*************最坏情况线性时间的选择**************************************************/
     13 //已经出现很多次了,不解释
     14 int Partition(int *A, int p, int r)
     15 {
     16     int x = A[r], i = p-1, j;
     17     for(j = p; j < r; j++)
     18     {
     19         if(A[j] <= x)
     20         {
     21             i++;
     22             swap(A[i], A[j]);
     23         }
     24     }
     25     swap(A[i+1], A[r]);
     26     return i+1;
     27 }
     28 int Select(int *A, int p, int r, int i);
     29 //对每一组从start到end进行插入排序,并返回中值
     30 //插入排序很简单,不解释
     31 int Insert(int *A, int start, int end, int k)
     32 {
     33     int i, j;
     34     for(i = 2; i <= end; i++)
     35     {
     36         int t = A[i];
     37         for(j = i; j >= start; j--)
     38         {
     39             if(j == start)
     40                 A[j] = t;
     41             else if(A[j-1] > t)
     42                 A[j] = A[j-1];
     43             else
     44             {
     45                 A[j] = t;
     46                 break;
     47             }
     48         }
     49     }
     50     return A[start+k-1];
     51 }
     52 //根据文中的算法,找到中值的中值
     53 int Find(int *A, int p, int r)
     54 {
     55     int i, j = 0;
     56     int start, end, len = r - p + 1;
     57     int *B = new int[len/5+1];
     58     //每5个元素一组,长度为start到end,对每一组进行插入排序,并返回中值
     59     for(i = 1; i <= len; i++)
     60     {
     61         if(i % 5 == 1)
     62             start = i+p-1;
     63         if(i % 5 == 0 || i == len)
     64         {
     65             j++;
     66             end = i+p-1;
     67             //对每一组从start到end进行插入排序,并返回中值,如果是最后一组,组中元素个数可能少于5
     68             int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1);
     69             //把每一组的中值挑出来形成一个新的数组
     70             B[j] = ret;    
     71         }
     72     }
     73     //对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值
     74     int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2);
     75     //delete []B;
     76     return ret;
     77 }
     78 //以f为主元的划分
     79 int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
     80 {
     81     int i;
     82     //找到f的位置并让它与A[r]交换
     83     for(i = p; i < r; i++)
     84     {
     85         if(A[i] == f)
     86         {
     87             swap(A[i], A[r]);
     88             break;
     89         }
     90     }
     91     return Partition(A, p, r);
     92 }
     93 //寻找数组A[p..r]中的第i大的元素,i是从1开始计数,不是从p开始
     94 int Select(int *A, int p, int r, int i)
     95 {
     96     //如果数组中只有一个元素,则直接返回
     97     if(p == r)
     98         return A[p];
     99     //根据文中的算法,找到中值的中值
    100     int f = Find(A, p, r);
    101     //以这个中值为主元的划分,返回中值在整个数组A[1..len]的位置
    102     //因为主元是数组中的某个元素,划分好是这样的,A[p..q-1] <= f < A[q+1..r]
    103     int q = Partition2(A, p, r, f);
    104     //转换为中值在在数组A[p..r]中的位置
    105     int k = q - p + 1;
    106     //与所寻找的元素相比较
    107     if(i == k)
    108         return A[q];
    109     else if(i < k)
    110         return Select(A, p, q-1, i);
    111     else
    112         //如果主元是数组中的某个元素,后面一半要这样写
    113         return Select(A, q+1, r, i-k);
    114         //但是如果主元不是数组中的个某个元素,后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1)
    115 }
    116 //数组A中,求从start到end这段的分位数。这一段有k个分位数,即第ks+1个分位到第ks+k个分位数
    117 void K_Quantile(int *A, int *B, int k, int start, int end, int ks)
    118 {
    119     if(k == 0)
    120         return;
    121     //先找最中间的分位数
    122     int x = Select(A, start, end, ((k+1)/2)*t);
    123     //记录这个分位数
    124     B[ks+(k+1)/2] = x;
    125     //以这个分位数为主元把数组分为两段,调度的时候发现这一步没什么用,因为SELECT已经包含了分段的过程
    126     Partition2(A, start, end, x);
    127     //分别找前后两个的分位数
    128     K_Quantile(A, B, (k-1)/2, start, (ks+(k+1)/2)*t, 0);
    129     K_Quantile(A, B, k/2, (ks+(k+1)/2)*t+1, end, ks+(k+1)/2);
    130 }
    131 int main()
    132 {
    133     int i, k;
    134     while(cin>>length_A>>k)
    135     {
    136         if(length_A % k)
    137         {
    138             cout<<"不能划分为k个大小相等的集合"<<endl;
    139             continue;
    140         }
    141         t = length_A / k;
    142         //A是输入数组
    143         int *A = new int[length_A+1];
    144         //B是输出数组,记录k-1个分位数
    145         int *B = new int[k];
    146         //构造随机数据
    147         for(i = 1; i <= length_A; i++)
    148             A[i] = rand() % 100;
    149         //打印输入数组
    150         Print(A, length_A);
    151         //求k分位数算法
    152         K_Quantile(A, B, k-1, 1, length_A, 0);
    153         //打印输出数组
    154         Print(B, k-1);
    155     }
    156     return 0;
    157 }
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