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70. Climbing Stairs
You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?
Note: Given n will be a positive integer.
Example 1:
Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step
2. 2 steps
Example 2:
Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step
//问题：爬楼梯（每次只能爬1步或者2步）
//分析：具有最优子结构和重叠子问题的两点特性，可以用动态规划方法
//暴力法：递归分解climbStairs(i,n)=(i+1,n)+climbStairs(i+2,n)，由于存在很多重复子问题，效率很低，时间复杂度为O(2^n)（递归二叉树结点数）
/*
//方法一：带备忘的自顶向下法(O(n),O(n))
//分解问题：climbStairs(i,n)=(i+1,n)+climbStairs(i+2,n),i为当前的步子，n为目标的步子
class Solution
{
public:
int climbStairs(int n)
{
vector<int> memo(n);
return climb_stairs(0, n, memo); //递归
}
int climb_stairs(int i, int n, vector<int>& memo)
{
if(i>n) return 0; //后面分解的时候有i+1和i+2，故有可能出现i>n的情况
if(i==n) return 1; //初始值
if(memo[i] > 0) return memo[i];//已经计算的不必重新计算
memo[i] = climb_stairs(i+1, n, memo) + climb_stairs(i+2, n, memo);//每一次只能爬一步或两步
return memo[i];
}
};*/
//方法二：自底向上法(O(n),O(n))
//通项公式：可以从坐标（i-1）到坐标i，也可以从坐标（i-2）到坐标i,
//故有dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]，dp[i]表示到坐标i的走法，所以可以从按问题规模从小到大计算，这样就不会计算重复问题了 （可以写出递推公式，自上而下分析，自下而上解决）
//思路：考虑到坐标n，有两种情况，在n-1级台阶上往上跳1级，在n-2级台阶上往上跳2级，故得an = an-1 + an-2,可以推广到其他位置
class Solution
{
public:
int climbStairs(int n)
{
if(n <= 0) return 0;
if(n == 1) return 1;//因为通项公式中最少须有两个初始值
vector<int> dp(n+1); //初始化为0
dp[0] = 1; dp[1] = 1;
for(int i = 2; i<=n; i++) dp[i] = dp[i -1] + dp[i-2]; //假设dp[0]=1,则从dp[2]开始满足通项公式
return dp[n];
}
};
//方法三：斐波那契数列(O(n),O(1)) 计算时只保存三个数，故可节省空间（方法二也可以做此优化）
//方法四：Binets Method(O(logn),O(1)) [[Fn+1 Fn], [Fn Fn-1]] = [[1 1], [1 0]]^n
延伸1：（变态跳台阶）
如果这个青蛙可以跳1级、2级...n级，则跳上n级台阶有多少种跳法
思路：跳到n级台阶，an = an-1 + an-2 +....a1 +a0 （a0 = 1,表示从起点一次性跳n级，a1 =1, a2 =2）,由数学归纳法可以证明an = 2^(n-1)
延伸2：矩形覆盖
我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
/*
问题：矩形覆盖
方法：动态规划
f(n)表示2*n的矩形的覆盖方法
f(n)可以是2*(n-1)的矩形加一个竖着放的2*1的矩形或2*(n-2)的矩形加2横着放的,
故递推公式为：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
另外，f(1)=1,f(2)=2，为方便起见，假设f(0) = 1
*/
class Solution
{
public:
int rectCover(int n)
{
if(n <= 0) return 0;
if(n == 1) return 1;
vector<int> dp(n+1);
dp[0] = dp[1] = 1;
for(int i = 2; i<=n; i++)
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
return dp[n];
}
};