算法笔记--无向图的桥、割点、边双连通分量和点双连通分量

概念:

桥:无向图中删去一条边使得图不再联通,则这条边称为桥

割点:无向图中删去一个点使得图不再联通,则这个点称为割点

算法:

运用到tarjan算法

关于tarjan算法: https://www.bilibili.com/video/av7330663/

求桥: 对于一条边 u -> v, 如果它是树边且low[v] > dfn[u], 则这条边为桥, 因为删去了这条边, v无法到达u以及u以上的点

求割点:对于一个点u, 如果它是根节点,且子树个数大于等于2, 则u是割点, 因为删去这个点后它的子树之间不能互相到达

　　　　　　　　　 如果它不是根节点, 假设它有一个儿子为v, 如果low[v] >= dfn[u], 则u是割点, 因为删去u后v无法到达u以上的点

模板:

const int N = 1e5 + 5;
vector<pair<int, int>> g[N];
int low[N], dfn[N], tot = 0;
pair<int, int> fa[N];
bool is_cut[N], is_bridge[N];
void tarjan(int u, pair<int, int> o) {
    fa[u] = o;
    dfn[u] = low[u] = ++tot;
    for (pair<int, int> p : g[u]) {
        int v = p.fi;
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v, {u, p.se});
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        }
        else if(v != o.fi) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
}
void solve(int n) {
    tarjan(1, {1, 1});

    //求割点
    int son = 0;
    for (int v = 2; v <= n; v++) {
        if(fa[v].fi == 1) son++;
        else {
            int u = fa[v].fi;
            if(low[v] >= dfn[u]) is_cut[u] = true;
        }
    }
    if(son >= 2) is_cut[1] = true;

    //求桥
    for (int v = 2; v <= n; v++) {
        int u = fa[v].fi;
        if(low[v] > dfn[u]) is_bridge[fa[v].se] = true;
    }
}

 概念:

边双连通分量:不存在桥的无向图为边双连通图, 极大边双连通图为边双连通分量

思路:边双联通分量与强联通分量类似,一个无向图, 一个有向图

模板:

const int N = 1e5 + 5;
vector<int> g[N];
vector<int> bcc[N];
bool vis[N];
int low[N], dfn[N], stk[N], tot = 0, top = 0, cnt = 0;
void tarjan(int u, int fa) {
    low[u] = dfn[u] = ++tot;
    stk[++top] = u;
    vis[u] = true;
    for (int v : g[u]) {
        if(v == fa) continue;
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        }
        else if(vis[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
    if(low[u] == dfn[u]) {
        ++cnt;
        while(stk[top] != u) vis[stk[top]] = false, bcc[cnt].pb(stk[top--]);
        vis[stk[top]] = false, bcc[cnt].pb(stk[top--]);
    }
}

点双连通分量:不存在割点的无向图为点双连通图, 极大点双连通图为点双连通分量

模板:

const int N = 1e5 + 5;
vector<int> g[N];
vector<pair<int,int>> bcc[N];
int low[N], dfn[N], tot = 0, top = 0, cnt = 0;
pair<int,int> stk[N];
void tarjan(int u, int fa) {
    low[u] = dfn[u] = ++tot;
    for (int v : g[u]) {
        pair<int,int> e = {u, v};
        if(!dfn[v]) {
            stk[++top] = e;
            tarjan(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(low[v] >= dfn[u]) {
                cnt++;
                while(stk[top] != e) {
                    bcc[cnt].push_back(stk[top--]);
                }
                bcc[cnt].push_back(stk[top--]);
            }
        }
        else if(v != fa ) {
            if(dfn[v] < dfn[u]) stk[++top] = e, low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
}