二分图匹配の匈牙利算法

匈牙利 算法

一. 算法简介

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出。该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

二分图的定义：

设G=(V,E)是一个无向图，顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2，那么称此图G为二分图。

例如，下图就是一个二分图：

二分图的匹配：

二分图中的子图中，每个节点只连一条边，则称该子图是二分图中的一个匹配。

极大匹配：

无法再向二分图中加入边，使得满足匹配条件。

最大匹配：

所有极大匹配中边数最多的一个匹配。

完美匹配：

如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。

方法：

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法。

算法图解：

下图是一个二分图，现在求最大匹配。

先从1出发，找增广路，找到1->A 这条路，标记并记录。

从2出发，找到2->B这条路，标记并记录。

从3开始找，发现3所连接边全部被占用，这时进行一个神奇的操作：

从三开始找一条增广路，3 -> A -> 1 -> B -> 2 -> C

这时，在图中将有两种颜色的边删去，留下绿色的边。

这时，这张图的最大匹配值就是3.

三.算法模板

核心代码：

bool Hungary(int x)
{
	for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
	{
		int tmp=e[i].to;
		if(!vis[tmp])
		{
			vis[tmp]=true;
			if(match[tmp]==INF||Hungary(match[tmp]))
			{
				match[tmp]=x;
				match[x]=tmp;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

主程序：

#define INF 0x3f3f3f3f

memset(match,0x3f,sizeof(match));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	if(Hungary(i))
	ans++;
}

时间复杂度：

邻接矩阵：
邻接表： O(nm)

空间复杂度：

邻接矩阵：
邻接表：O(n+m)

Luogu P1894完美的牛栏

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 210
using namespace std;
int n,m,ans=0;
struct Edge
{
	int to;
	int next;
}e[2*N*N];
int head[2*N],cnt=0;
void add(int from,int to)
{
	cnt++;
	e[cnt].to=to;
	e[cnt].next=head[from];
	head[from]=cnt;
}
int match[2*N];
bool vis[2*N*N];
bool Hungary(int x)
{
	for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
	{
		int tmp=e[i].to;
		if(!vis[tmp])
		{
			vis[tmp]=true;
			if(!match[tmp]||Hungary(match[tmp]))
			{
				match[tmp]=x;
				match[x]=tmp;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=m+1;i<=m+n;i++)
	{
		int num,x;
		scanf("%d",&num);
		for(int j=1;j<=num;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			add(i,x);//建边要建单向边
		}
	}
	for(int i=1+m;i<=n+m;i++)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if(Hungary(i))
		ans++;
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

转载自：SHHHS