CF1556F Sports Betting
可以对每个人分开考虑，最终答案就是总和。状压dp，(f_i) 表示 (x) 赢了 (i) 里的所有人的概率。转移的时候可以枚举一个集合 (j)，表示新赢了这些人。但如果直接转移会出现重复，考虑容斥，计算不满足的概率。这时候只要让 (j,i) 集合之间打架的时候全让 (j) 里的人赢就可以了。因为这样划分后，每次转移里 (x) 能打败的集合是唯一确定的，所以不会重复。
然后又发现，每个人的转移都有大量的重叠部分，那么继续优化。把每次对战看成一条图上的边。设 (f_i) 表示集合 (i) 构成一整个SCC的概率，还是要用容斥转移。如果不构成强连通，则有多个SCC，并且由于原图是竞赛图（完全有向图），缩点后SCC构成一条链，那么只需要枚举第一个SCC的状态，就可以做到不重不漏的。这样省去了最外重的循环，可以在 (3^n) 时间内求解。最后 (f_i) 对答案的贡献容易推导
注意，如果转移的时候不用递推而是暴力，就会多出一个 (n)。
CF1556G Gates to Another World
暴力地进行连边，复杂度为 (O(2^nn))。根据题意不难发现这 (2^n) 个点可以分为 (m) 段，应该是想让我们一段一段处理，那么直接上线段树。原题“只有一个二进制位不同”相当于将线段树上某个节点的左右子树重叠位置连边。
因为共有 (2^n) 个点，所以线段树上每个节点对应的区间长度也是 (2^k)，这个性质可以保证每个节点对应区间内的点构成联通图（如果这些点都没被删），所以每个节点内不用考虑。
每条线段对应 (n) 个节点，那么树上有用的节点为 (nm)。考虑在这些节点之间使用并查集连边。根据上面所说的“左右子树重叠”操作，不难发现每个点最多跟 (n) 个点连边，所以边数为 (n^2m)。
具体操作的时候，先把询问倒叙，删除变成插入。然后可以先把整棵树建出来，存下每个时刻要加的边。应该也可以一边处理询问一边动态在线段树上修改连边（像普通线段树打标记那样）。复杂度 (n^2m alpha)，后面那个是并查集