题解 UVa11481

题目大意 多组数据，每组数据给定三个正整数 (n,m,k)，请求出 (1,2,cdots,n) 的所有排列中前 (m) 个数正好有 (k) 个在原位置的个数。

分析 这道题很有意思，需要用到一个奇妙的东西叫做错排。所谓错排，就是一个 (1,2,cdots,n) 的序列的所有数都不在自己位置上的排列数，记做 (D(n))。这个错排和这道题有什么关系呢？假设我们选出了前 (m) 个数中的 (k) 个在原位置上的数，则剩下的 (m-k) 个都不在原位置上。所以我们可以枚举后 (n-m) 个数中有多少个数在原位置上，那么剩下的 (n-m-i) 个就都不在自己原来的位置上。也就是说这 (n-m-i) 个数和前面的 (m-k) 个数构成一个错排，方案数为 (D(n-k-i))。那么最终的答案就是

[ans=C_m^ksum_{i=0}^{n-m}C_{n-m}^i D(n-k-i) ]

至于 (D(n)) 的计算，可以通过如下方式得到：我们考虑把 (1) 放到 (k) 的位置，这一共有 (n-1) 种选法。那么对 (k) 进行讨论。如果将 (k) 放到 (1) 的位置，那么方案数就是剩下 (n-2) 个数的错排，为 (D(n-2))，如果不是，则先将 (k) 放到 (1) 的位置，那么 (k) 和剩下 (n-2) 个数构成一个 (n-1) 的错排，方案数为 (D(n-1))。就是说，有

[D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) ]

初始条件为 (D(0)=1,D(1)=0)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod = 1E+9 + 7;

int T;
ll n, m, k, ans;
ll D[1005], C[1005][1005];

void Init()
{
	C[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 1000; ++i) {
		C[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= 1000; ++j)
			C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
	}
	
	D[0] = 1;
	for(int i = 2; i <= 1000; ++i)
		D[i] = (i - 1) * (D[i - 1] + D[i - 2]) % mod;
}

int main()
{
	Init();
	
	int t = 0;
	
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		ans = 0;
		
		scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
		
		for(int i = 0; i <= n - m; ++i)
			ans = (ans + C[n - m][i] * D[n - k - i]) % mod;
		
		printf("Case %d: %lld
", ++t, ans * C[m][k] % mod);
	}
}