均摊时间复杂度

引入

看个例子：

 // array表示一个长度为n的数组
 // 代码中的array.length就等于n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

这段代码实现了一个往数组里插入数据的功能。当数组满了之后，就是代码的count==array.length时，会用for循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的sum值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。

最好时间复杂度：数组中有空闲空间，只需要将数据插入到数组下标为count的位置即可，所以最好情况时间复杂度为O(1)

最坏时间复杂度：数组没有空闲空间，就需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为O(n)

平均时间复杂度：答案是O(1),通过概率论的方法来分析

假设数组的长度是n，更加数据插入的位置的不同，可以分为n种情况，每种情况的时间复杂度是O(1)，除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，此时时间复杂度是O(n)，而且，这个n+1中情况发生的概率一样，都是1/(n+1),所以，更具加权平均的计算方法，求得的平均时间复杂度就是：

面的最好、最坏、平均时间复杂度的计算，理解起来应该都没有问题。但是这个例子里的平均复杂度分析其实并不需要这么复杂，不需要引入概率论的知识。

insert()函数在大部分情况下，时间复杂度都是O(1),只有个别情况下，复杂度才比较高，此外，O(1)时间复杂度的插入和O(n)时间复杂度的插入，出现的频率非常有规律，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个O(n)插入之后，紧跟n-1个O(1) 的插入操作，循环往复。

针对这种情况，引入一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过瘫痪分析法得到的时间复杂度叫做：均摊时间复杂度

均摊时间复杂度

仍以上述数组中插入数据为例。每一次O(n)的插入操作，都会跟着n-1次O(1)的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的n-1次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是O(1),这就是均摊分析的大致思路

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。