变态跳台阶

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题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

 

思路：（重要是分析）

　　本题前提是n个台阶，会有n阶的跳发，分析如下：

　　f(1) = 1

　　f(2) = f(2-1)+ f(2 -2)  //f(2-2)代表2阶台阶一次跳2阶的次数

　　f(3) = f(3 -1) + f(3 -2) + f(3-3)

　　......

　　f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n - 3)+ .....+ f(n - (n-1)) + f(n-n)

　　说明：

　　1、这里的f(n)代表的是n个台阶有一次1,2，。。。。，n阶的跳法数

　　2、n = 1时，只有一种跳发，f(1) = 1

　　3、n = 2时，有两种跳发，一种1阶1阶跳，或者是直接跳2阶，f(2) = f(2 -1) + f(2 - 2)

　　4、 n = 3时，会有三种跳发：1阶、2阶、3阶

　　　　那么第一次跳出一阶后面剩下：f(3 - 1);第一次跳出2阶，剩下f(3 -2)；第一次3阶，剩下f(3 -3)

　　　　有结论：f(3) = f(3 -1) + f(3 -2) + f(3 - 3)

　　5、n = n时，会有n种跳的方式，1,2,3,4,5，。。。。，n阶

　　　　结论：f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) + .....+ f(n - (n - 1) ) + f(n - n)

　　6、由以上可得到另一种结论：

　　　　f(n - 1) = f(0) + f(1) + f(2) + .....+ f((n -1) -1) = f(0) + f(1) +f(2) + ...... +f(n - 2)

　　　　f(n ) = f(0) + f(2) + f(3) + ......+f(n - 2) + f(n - 1) = f(n - 1) + f(n - 1)

　　　　==>f(n) = 2 * f(n - 1)

　　7、因此由此结论：

　　　　n <= 0：　　

　　　　　　　　f(n) = 0;

　　　　n == 1:

　　　　　　　　f(n) = 1;

　　　　n >= 2:

　　　　　　　　f(n) = 2 * f(n - 1)

代码实现：

　　递归：

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        if(number <= 0)
            return 0;
        if(number == 1)
            return 1;
        return 2 * jumpFloorII(number -1);
    }
};

　　动态规划：

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        if(number <= 0)
            return -1;
        if(number == 1)
            return 1;
        int sum = 1;
        
        for(int i = 2;i <= number;i++)
        {
            sum = 2 * sum;
        }
        return sum;
    }
};